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For multiple-choice problems, put only one of ①, ②, ③, ④, ⑤ inside \boxed{}. For short-answer problems, put only the final integer inside \boxed{}. Do not use external tools.

Problem 25 Let{a n}be a sequence such that, for every natural numbern, √ 9n2 −5 + 2n < a n <5n+ 1. Evaluate lim n→∞ (an + 2)2 nan + 5n2 −2 . [3 points] ① 1 2 ② 3 2 ③ 5 2 ④ 7 2 ⑤ 9 2 더보기

주어진 부등식

9 𝑛 2 − 5 + 2 𝑛 < 𝑎 𝑛 < 5 𝑛 + 1 9n 2 −5 ​

+2n<a n ​

<5n+1

의 양변을 𝑛 n으로 나누면

9 − 5 𝑛 2 + 2 < 𝑎 𝑛 𝑛 < 5 + 1 𝑛 . 9− n 2 5 ​

​

+2< n a n ​

​

<5+ n 1 ​

.

𝑛 → ∞ n→∞일 때

9 − 5 𝑛 2 + 2 → 5 , 5 + 1 𝑛 → 5 9− n 2 5 ​

​

+2→5,5+ n 1 ​

→5

이므로, 샌드위치 정리에 의해

lim ⁡ 𝑛 → ∞ 𝑎 𝑛 𝑛

n→∞ lim ​

n a n ​

​

=5.

이제 주어진 극한을 계산하면

( 𝑎 𝑛 + 2 ) 2 𝑛 𝑎 𝑛 + 5 𝑛 2 − 2

𝑛 2 ( 𝑎 𝑛 𝑛 + 2 𝑛 ) 2 𝑛 2 ( 𝑎 𝑛 𝑛 + 5 − 2 𝑛 2 )

( 𝑎 𝑛 𝑛 + 2 𝑛 ) 2 𝑎 𝑛 𝑛 + 5 − 2 𝑛 2 . na n ​

+5n 2 −2 (a n ​

+2) 2 ​

= n 2 ( n a n ​

​

+5− n 2 2 ​

) n 2 ( n a n ​

​

+ n 2 ​

) 2 ​

= n a n ​

​

+5− n 2 2 ​

( n a n ​

​

+ n 2 ​

) 2 ​

.

따라서

lim ⁡ 𝑛 → ∞ ( 𝑎 𝑛 + 2 ) 2 𝑛 𝑎 𝑛 + 5 𝑛 2 − 2

5 2 5 + 5

25 10

5 2 . n→∞ lim ​

na n ​

+5n 2 −2 (a n ​

+2) 2 ​

= 5+5 5 2 ​

= 10 25 ​

= 2 5 ​

.

정답은 ③이다.

③ ③ ​

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