Problem Analysis #calculus_25

Motif 3 · Run 1

Python ● execution succeeded
Correct
132.07s
15,388 toks

Infron · Motif 3 · 46문항 × 3회 · Python TAR. 131,072 output tokens · 기본 1,800초 · 6+1 turns. ACC는 전체 138회, Pass@1은 각 문항의 첫 유효 시도, Pass@3는 3회 내 정답으로 계산합니다.

Problem Statement

수열 {an}\{a_n\}이 모든 자연수 n에 대하여 9n2−5+2n<an<5n+1\sqrt{9n^2-5}+2n<a_n<5n+1을 만족시킬 때, lim⁡n→∞(an+2)2nan+5n2−2\lim_{n\to\infty}\frac{(a_n+2)^2}{na_n+5n^2-2}의 값은?

① 12\frac12 ② 32\frac32 ③ 52\frac52 ④ 72\frac72 ⑤ 92\frac92

최종 답은 선택지 번호 1~5 중 하나를 \boxed{} 안에 쓰세요.

Ground Truth
3
Recorded model response / solution
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
n = sp.symbols('n', integer=True, positive=True)
# We can verify the limit by choosing a_n = 5*n + c, with c constant satisfying bounds
c = sp.symbols('c', real=True)
a_n = 5*n + c
expr = (a_n + 2)**2 / (n * a_n + 5*n**2 - 2)
limit_expr = sp.limit(expr, n, sp.oo)
limit_expr
Tool Output
Execution succeeded
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
n, c = sp.symbols('n c', real=True)
a_n = 5*n + c
expr = (a_n + 2)**2 / (n * a_n + 5*n**2 - 2)
sp.limit(expr, n, sp.oo)
Tool Output
Execution succeeded
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
n, c = sp.symbols('n c', real=True)
a_n = 5*n + c
expr = (a_n + 2)**2 / (n * a_n + 5*n**2 - 2)
res = sp.limit(expr, n, sp.oo)
print(res)
Tool Output
Execution succeeded 5/2
Reasoning Process

주어진 조건에 따르면 모든 자연수 nn에 대하여

9n2−5+2n<an<5n+1\sqrt{9n^2-5}+2n < a_n < 5n+1

이 성립한다. 하한과 상한을 5n5n 기준으로 정리하면

9n2−5+2n=3n1−59n2+2n=5n−56n+O ⁣(1n3)\sqrt{9n^2-5}+2n = 3n\sqrt{1-\frac{5}{9n^2}}+2n = 5n - \frac{5}{6n} + O\!\left(\frac{1}{n^3}\right)

이므로 an=5n+bna_n = 5n + b_n이라 쓸 수 있고, bnb_n은 −56n<bn<1- \frac{5}{6n} < b_n < 1을 만족하는 유계 수열이다. 이제 극한값을 계산하자.

(an+2)2nan+5n2−2=(5n+bn+2)2n(5n+bn)+5n2−2=(5n+bn+2)210n2+nbn−2\frac{(a_n+2)^2}{na_n+5n^2-2} = \frac{(5n+b_n+2)^2}{n(5n+b_n)+5n^2-2} = \frac{(5n+b_n+2)^2}{10n^2+nb_n-2}

분자와 분모를 n2n^2으로 나누면

(5+bn+2n)210+bnn−2n2\frac{\left(5 + \frac{b_n+2}{n}\right)^2}{10 + \frac{b_n}{n} - \frac{2}{n^2}}

bnb_n이 유계이므로 bnn→0\frac{b_n}{n} \to 0, 2n→0\frac{2}{n} \to 0, 2n2→0\frac{2}{n^2} \to 0이다. 따라서

lim⁡n→∞(an+2)2nan+5n2−2=5210=2510=52\lim_{n\to\infty} \frac{(a_n+2)^2}{na_n+5n^2-2} = \frac{5^2}{10} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}

이는 선택지 ③에 해당한다.

3\boxed{3}
Final Model Output
3

Comparative Analysis (Pcalculus_25) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

Motif 3
73.6
Solar Pro 4
65.9
Union Alpha
63.6
MiMo V2.6 Pro
27.9
Grok 4.7
22.8
Muse Spark 1.3
21.0
DeepSeek V4.1 Flash
8.8
Solar Mini 4 Preview
4.8

Avg Token Usage

Muse Spark 1.3
10,333
Solar Pro 4
9,744
Motif 3
9,581
Grok 4.7
6,597
Union Alpha
5,360
DeepSeek V4.1 Flash
4,283
MiMo V2.6 Pro
3,596
Solar Mini 4 Preview
3,376
    CSAT 2026 · Problem calculus_25 · Motif 3 | EntropyMath