Problem Analysis #calculus_26

Motif 3 · Run 1

Python ● execution succeeded
Correct
77.76s
10,432 toks

Infron · Motif 3 · 46문항 × 3회 · Python TAR. 131,072 output tokens · 기본 1,800초 · 6+1 turns. ACC는 전체 138회, Pass@1은 각 문항의 첫 유효 시도, Pass@3는 3회 내 정답으로 계산합니다.

Problem Statement

그림과 같이 곡선 y=x+xln⁡xy=\sqrt{x+x\ln x}와 x축 및 두 직선 x=1, x=2로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

[원문 그림의 텍스트 전사] 그림은 x=1과 x=2 사이의 밑면 위에, 밑면의 x축과 곡선 사이 선분을 한 변으로 하는 정삼각형 단면들이 서 있는 입체를 나타낸다.

① 3(3+8ln⁡2)16\frac{\sqrt3(3+8\ln2)}{16} ② 3(5+12ln⁡2)24\frac{\sqrt3(5+12\ln2)}{24} ③ 3(1+12ln⁡2)16\frac{\sqrt3(1+12\ln2)}{16} ④ 3(1+2ln⁡2)4\frac{\sqrt3(1+2\ln2)}4 ⑤ 3(1+9ln⁡2)12\frac{\sqrt3(1+9\ln2)}{12}

최종 답은 선택지 번호 1~5 중 하나를 \boxed{} 안에 쓰세요.

Ground Truth
1
Recorded model response / solution
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
x=sp.symbols('x')
expr=(sp.sqrt(3)/4)*(x + x*sp.log(x))
V=sp.integrate(expr,(x,1,2))
sp.simplify(V)
Tool Output
Execution succeeded
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
x=sp.symbols('x')
expr=(sp.sqrt(3)/4)*(x + x*sp.log(x))
V=sp.integrate(expr,(x,1,2))
sp.simplify(V)
Tool Output
Execution succeeded
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
x=sp.symbols('x')
expr=(sp.sqrt(3)/4)*(x + x*sp.log(x))
V=sp.integrate(expr,(x,1,2))
print(sp.simplify(V))
print(float(V))
Tool Output
Execution succeeded sqrt(3)*(3 + log(256))/16 0.9250425933456363
Reasoning Process

각 xx에서 단면인 정삼각형의 한 변의 길이는 밑면의 위쪽 경계와 아래쪽 경계 사이의 길이이므로

s(x)=x+xln⁡xs(x)=\sqrt{x+x\ln x}

이다. 정삼각형의 넓이는

A(x)=34s(x)2=34(x+xln⁡x)A(x)=\frac{\sqrt3}{4}s(x)^2=\frac{\sqrt3}{4}(x+x\ln x)

이므로 부피는

V=∫1234(x+xln⁡x) dxV=\int_1^2 \frac{\sqrt3}{4}(x+x\ln x)\,dx

이다. 이를 계산하면

∫12x dx=32,∫12xln⁡x dx=[x22ln⁡x−x24]12=2ln⁡2−34\int_1^2 x\,dx=\frac32,\qquad \int_1^2 x\ln x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\right]_1^2=2\ln2-\frac34

따라서

V=34(32+2ln⁡2−34)=34(34+2ln⁡2)=3(3+8ln⁡2)16V=\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac32+2\ln2-\frac34\right) =\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac34+2\ln2\right) =\frac{\sqrt3(3+8\ln2)}{16}

Python 확인 결과:

import sympy as sp
x=sp.symbols('x')
expr=(sp.sqrt(3)/4)*(x + x*sp.log(x))
V=sp.integrate(expr,(x,1,2))
print(sp.simplify(V), float(V))
3(3+log⁡(256))16\frac{\sqrt3(3+\log(256))}{16}

즉, 3(3+8ln⁡2)16\dfrac{\sqrt3(3+8\ln2)}{16}이므로 선택지 1에 해당한다.

1\boxed{1}
Final Model Output
1

Comparative Analysis (Pcalculus_26) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

Union Alpha
149.3
Motif 3
52.0
Solar Pro 4
38.3
MiMo V2.6 Pro
31.3
Grok 4.7
16.0
Muse Spark 1.3
11.1
Solar Mini 4 Preview
6.9
DeepSeek V4.1 Flash
6.6

Avg Token Usage

Motif 3
7,313
Solar Pro 4
7,061
Solar Mini 4 Preview
6,676
MiMo V2.6 Pro
6,332
Union Alpha
6,301
Grok 4.7
5,946
Muse Spark 1.3
4,779
DeepSeek V4.1 Flash
3,720
    CSAT 2026 · Problem calculus_26 · Motif 3 | EntropyMath