Problem Analysis #calculus_29

Motif 3 · Run 1

Python ● execution succeeded
Correct
155.75s
33,469 toks

Infron · Motif 3 · 46문항 × 3회 · Python TAR. 131,072 output tokens · 기본 1,800초 · 6+1 turns. ACC는 전체 138회, Pass@1은 각 문항의 첫 유효 시도, Pass@3는 3회 내 정답으로 계산합니다.

Problem Statement

첫째항과 공차가 같은 등차수열 {an}\{a_n\}과 등비수열 {bn}\{b_n\}이 다음 조건을 만족시킨다. 어떤 자연수 k에 대하여 bk+i=1ai−1b_{k+i}=\frac1{a_i}-1 (i=1,2,3)이다. 부등식 0<∑n=1∞(bn−1anan+1)<300<\sum_{n=1}^{\infty}(b_n-\frac1{a_na_{n+1}})<30이 성립할 때, a2×∑n=1∞b2n=qpa_2\times\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}=\frac qp이다. p+qp+q의 값을 구하시오. (단, a1≠0a_1\ne0이고, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

최종 정수 답을 \boxed{} 안에 쓰세요.

Ground Truth
97
Recorded model response / solution
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
a=sp.symbols('a', real=True)
c1=(1-a)/a
c2=(1-2*a)/(2*a)
c3=(1-3*a)/(3*a)

# 세 연속 항이 등비수열이므로 c2^2=c1*c3
sol=solve(sp.simplify(c2**2-c1*c3), a)
sol
Tool Output
Execution failed name 'solve' is not defined
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
a=sp.symbols('a', real=True)
c1=(1-a)/a
c2=(1-2*a)/(2*a)
c3=(1-3*a)/(3*a)

# 세 연속 항이 등비수열이므로 c2^2=c1*c3
expr=sp.simplify(c2**2-c1*c3)
sol=sp.solve(expr, a)
sol, sp.simplify(expr)
Tool Output
Execution succeeded
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
a=sp.symbols('a', real=True)
c1=(1-a)/a
c2=(1-2*a)/(2*a)
c3=(1-3*a)/(3*a)
expr=sp.simplify(c2**2-c1*c3)
sol=sp.solve(expr, a)
print("sol=", sol)
print("expr=", expr)
# ratio r at a=1/4
r_val=sp.simplify(c2/c1).subs(a, sp.Rational(1,4))
print("r=", r_val)
Tool Output
Execution succeeded sol= [1/4] expr= (4*a - 1)/(12*a**2) r= 1/3
Reasoning Process

Recorded Python call:

from fractions import Fraction

r = Fraction(1,3)
a = Fraction(1,4)

results=[]
for k in range(1,8):
    b1 = 3**(k+1)
    S = Fraction(b1,1)/(1-r) - 1/(a*a)
    T = (2*a) * (b1*r)/(1-r*r)
    results.append((k,S,T))
    print(k, S, T)
Tool Output
Execution succeeded 1 -5/2 27/16 2 49/2 81/16 3 211/2 243/16 4 697/2 729/16 5 2155/2 2187/16 6 6529/2 6561/16 7 19651/2 19683/16
Reasoning Process

a=a1a=a_1라 하면, 공차가 a1a_1과 같으므로

an=a+(n−1)a=naa_n=a+(n-1)a=na

이다.

주어진 세 항 bk+i=1ai−1b_{k+i}=\frac1{a_i}-1 (i=1,2,3)(i=1,2,3)이 등비수열의 연속한 세 항이므로

(12a−1)2=(1a−1)(13a−1)\left(\frac1{2a}-1\right)^2=\left(\frac1a-1\right)\left(\frac1{3a}-1\right)

이고, 이를 풀면

a=14a=\frac14

을 얻는다. 따라서

bk+1=3,bk+2=1,bk+3=13b_{k+1}=3,\quad b_{k+2}=1,\quad b_{k+3}=\frac13

이므로 공비는 r=13r=\frac13이다.

또 bk+1=b1rk=3b_{k+1}=b_1r^k=3이므로

b1=3k+1b_1=3^{k+1}

이다.

이제

∑n=1∞1anan+1=∑n=1∞16n(n+1)=16\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_na_{n+1}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{16}{n(n+1)}=16

이고,

∑n=1∞bn=b11−r=3k+12/3=3k+22\sum_{n=1}^{\infty}b_n=\frac{b_1}{1-r} =\frac{3^{k+1}}{2/3}=\frac{3^{k+2}}2

이므로 주어진 부등식은

0<3k+22−16<300<\frac{3^{k+2}}2-16<30

이다. 자연수 kk에 대하여 이를 만족하는 값은 k=2k=2뿐이므로 b1=27b_1=27이다.

마지막으로

a2=2a=12a_2=2a=\frac12

이고,

∑n=1∞b2n=b1r1−r2=27⋅131−19=818\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n} =\frac{b_1r}{1-r^2} =\frac{27\cdot\frac13}{1-\frac19} =\frac{81}{8}

이므로

a2∑n=1∞b2n=12⋅818=8116.a_2\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n} =\frac12\cdot\frac{81}{8} =\frac{81}{16}.

따라서 p=16, q=81p=16,\ q=81이고,

p+q=97p+q=97

이다.

97\boxed{97}
Final Model Output
97

Comparative Analysis (Pcalculus_29) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

Motif 3
637.2
MiMo V2.6 Pro
256.8
Union Alpha
201.4
Grok 4.7
119.4
Solar Pro 4
78.8
Muse Spark 1.3
36.2
Solar Mini 4 Preview
20.1
DeepSeek V4.1 Flash
19.4

Avg Token Usage

Grok 4.7
29,701
MiMo V2.6 Pro
29,621
Motif 3
26,223
Union Alpha
18,095
Muse Spark 1.3
15,711
Solar Mini 4 Preview
14,185
DeepSeek V4.1 Flash
9,740
Solar Pro 4
6,972
    CSAT 2026 · Problem calculus_29 · Motif 3 | EntropyMath