Problem Analysis #calculus_30

Motif 3 · Run 1

Python ● execution succeeded

Correct

823.83s

103,938 toks

Infron · Motif 3 · 46문항 × 3회 · Python TAR. 131,072 output tokens · 기본 1,800초 · 6+1 turns. ACC는 전체 138회, Pass@1은 각 문항의 첫 유효 시도, Pass@3는 3회 내 정답으로 계산합니다.

Problem Statement

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 $f(x)$ 의 역함수 $f^{-1}(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lvert x\rvert\le1$ 일 때, $4\times(f^{-1}(x))^2=x^2(x^2-5)^2$ 이다. (나) $\lvert x\rvert>1$ 일 때, $\lvert f^{-1}(x)\rvert=e^{\lvert x\rvert-1}+1$ 이다. 실수 m에 대하여 기울기가 m이고 점 (1,0)을 지나는 직선이 곡선 $y=f(x)$ 와 만나는 점의 개수를 $g(m)$ 이라 하자. 함수 $g(m)$ 이 m=a, m=b (a<b)에서 불연속일 때, $g(a)\times(\lim_{m\to a+}g(m))+g(b)\times(\frac{\ln b}{b})^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}x=0$ )

최종 정수 답을 $\boxed{}$ 안에 쓰세요.

Ground Truth

Recorded model response / solution

Reasoning Process

Recorded Python call:

import numpy as np
from scipy.optimize import bisect, brentq, minimize_scalar
import sys

Tool Output

Execution succeeded

Reasoning Process

Recorded Python call:

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq

def F(t):
    if t < -1:
        return -np.exp(-t-1) - 1
    elif t <= 1:
        return t*(5-t*t)/2
    else:
        return np.exp(t-1) + 1

def dF(t):
    if t < -1:
        return np.exp(-t-1)
    elif t < 1:
        return (5-3*t*t)/2
    else:
        return np.exp(t-1)

def h(s,t):
    return F(t)-1-s*t

def count_roots(s, tmin=-50, tmax=50, n=200001):
    # sample sign changes, refine
    ts=np.linspace(tmin,tmax,n)
    vals=np.array([h(s,t) for t in ts])
    roots=[]
    for i in range(n-1):
        if vals[i]==0:
            roots.append(ts[i])
        elif vals[i]*vals[i+1]<0:
            try:
                root=brentq(lambda t: h(s,t), ts[i], ts[i+1], xtol=1e-12, rtol=1e-12)
                roots.append(root)
            except Exception:
                pass
    # dedupe
    uniq=[]
    for r in roots:
        if not uniq or abs(r-uniq[-1])>1e-6:
            uniq.append(r)
    return uniq, vals

for s in [0.5,0.9,1.0,1.01,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,2.0,2.2,2.3,2.345,2.4,2.5,3.0,5.0]:
    roots,vals=count_roots(s)
    print(s, len(roots), roots[:10])

Tool Output

Execution succeeded 0.5 1 [0.5391888728108891] 0.9 1 [0.7647903697880423] 1.0 1 [np.float64(1.0)] 1.01 1 [1.1477797883933167] 1.1 1 [1.5023222721453364] 1.2 1 [1.7310493313260578] 1.3 1 [1.908881989148775] 1.4 1 [2.058402369972111] 1.5 1 [2.1888341658136867] 2.0 1 [2.6783469900166605] 2.2 1 [2.8280419377682042] 2.3 1 [2.8963659552320005] 2.345 1 [2.9258810513696654] 2.4 3 [-2.152371693214323, -1.5704229787885915, 2.9609936378076207] 2.5 3 [-2.3627161803676398, -1.3919389391809234, 3.022313245324657] 3.0 3 [-2.9038136944403834, np.float64(-1.0), 3.2892814145628715] 5.0 3 [-3.8469185788040368, -0.38829144100486007, 3.994308347002122]

Reasoning Process

Recorded Python call:

import mpmath as mp
mp.mp.dps=50
f=lambda r: r*mp.log(r)-2
r0=mp.findroot(f,2.3)
print(r0, r0*mp.log(r0))
s0=r0
b=1/s0
print("s0",s0,"b",b)
# F and H at tangent t0
t0=-1-mp.log(r0)
print("t0",t0,"F", -r0-1, "s0*t0+1?", s0*t0+1)

Tool Output

Execution succeeded 2.3457507549227654624170211472773605580001892920438 2.0 s0 2.3457507549227654624170211472773605580001892920438 b 0.4263027510068627456732362073476587334492266500757 t0 -1.8526055020137254913464724146953174668984533001514 F -3.3457507549227654624170211472773605580001892920438 s0*t0+1? -3.3457507549227654624170211472773605580001892920438

Reasoning Process

Recorded Python call:

s=s0
roots,vals=count_roots(s,tmin=-20,tmax=20,n=400001)
print(len(roots), roots)
# evaluate h at candidate positive root
for r in roots:
    print(r, h(s,r))

Tool Output

Execution failed name 's0' is not defined

Reasoning Process

Recorded Python call:

s=float(s0)
roots,vals=count_roots(s,tmin=-20,tmax=20,n=400001)
print(len(roots), roots)
for r in roots:
    print(r, h(s,r))

Tool Output

Execution failed name 's0' is not defined

Reasoning Process

Recorded Python call:

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq
import mpmath as mp
mp.mp.dps=50
r0=mp.findroot(lambda r: r*mp.log(r)-2,2.3)
s0=float(r0)
t0=-1-mp.log(r0)
print("s0",s0,"t0",float(t0))

def F(t):
    if t < -1:
        return -np.exp(-t-1) - 1
    elif t <= 1:
        return t*(5-t*t)/2
    else:
        return np.exp(t-1) + 1

def h(s,t):
    return F(t)-1-s*t

def count_roots(s, tmin=-20, tmax=20, n=400001):
    ts=np.linspace(tmin,tmax,n)
    vals=np.array([h(s,t) for t in ts])
    roots=[]
    for i in range(n-1):
        if vals[i]==0:
            roots.append(ts[i])
        elif vals[i]*vals[i+1]<0:
            try:
                root=brentq(lambda t: h(s,t), ts[i], ts[i+1], xtol=1e-14, rtol=1e-14)
                roots.append(root)
            except Exception:
                pass
    uniq=[]
    for r in roots:
        if not uniq or abs(r-uniq[-1])>1e-6:
            uniq.append(r)
    return uniq

s=s0
roots=count_roots(s)
print(len(roots), roots)
for r in roots:
    print(r, h(s,r))

Tool Output

Execution succeeded s0 2.3457507549227654 t0 -1.8526055020137255 1 [2.926367340206157] 2.926367340206157 8.881784197001252e-16

Reasoning Process

F(x)=f^{-1}(x)= \begin{cases} -e^{-x-1}-1,& x<-1,\\[2mm] \dfrac{x(5-x^2)}2,& -1\le x\le 1,\\[2mm] e^{x-1}+1,& x>1. \end{cases}

직선 $y=m(x-1)$ 위의 점을 $(x,y)$ 라 하고 $t=y$ 로 두면, $x=F(t)$ 이고

t=m(F(t)-1).

$m\ne0$ 일 때 $s=\frac1m$ 로 두면 교점의 개수는 방정식

F(t)=1+st

의 실근 개수와 같다. $m=0$ 이면 $y=0$ 이고 $F(0)=0$ 이므로 교점은 1개이다.

$s>0$ 인 경우를 가지별로 세면 다음과 같다.

$t>1$ : $F(t)=e^{t-1}+1$ 이므로 $e^{t-1}-st=0$ 은 $s>1$ 일 때 정확히 1개의 해를 갖는다.
$-1\le t\le1$ : $s\le1$ 이면 1개, $1<s<3$ 이면 0개, $s\ge3$ 이면 1개이다.
$t<-1$ : $F(t)=-e^{-t-1}-1$ . 여기서 $h(t)=F(t)-1-st$ 의 최댓값은 $s\ln s-2$ 이고, 그 위치는 $t=-1-\ln s$ 이다.

따라서 $s\ln s=2$ 를 만족하는 유일한 $s_0>1$ 에서 왼쪽 가지에서 접하고 교점 수가 변한다. 가지별 개수를 합치면

g(m)= \begin{cases} 1,& 0<s<s_0,\\ 2,& s=s_0,\\ 3,& s>s_0. \end{cases}

또한 $m<0$ 이면 항상 1개이다.

이제 $s=\frac1m$ 이므로

$m\to0^+$ 이면 $s\to\infty$ 여서 $g(m)\to3$ , 반면 $g(0)=1$ . 따라서 $a=0$ .
$s=s_0$ 일 때 $g=2$ , $s\to s_0^-$ 이면 $g\to3$ , $s\to s_0^+$ 이면 $g\to1$ . 따라서 $b=\frac1{s_0}$ .

$s_0\ln s_0=2$ 이므로

\frac{\ln b}{b}=\frac{-\ln s_0}{1/s_0}=-s_0\ln s_0=-2.

따라서

g(a)\lim_{m\to a+}g(m)+g(b)\left(\frac{\ln b}{b}\right)^2 =1\cdot3+2\cdot4=11.

\boxed{11}

Final Model Output

Comparative Analysis (Pcalculus_30) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

Solar Pro 4

1143.8

Union Alpha

1001.1

Motif 3

651.7

MiMo V2.6 Pro

485.2

Grok 4.7

305.2

Muse Spark 1.3

134.4

Solar Mini 4 Preview

117.7

DeepSeek V4.1 Flash

89.6

Avg Token Usage

Solar Pro 4

138,659

Motif 3

134,043

Grok 4.7

75,813

Solar Mini 4 Preview

73,098

Muse Spark 1.3

64,249

MiMo V2.6 Pro

53,041

DeepSeek V4.1 Flash

35,840