Problem Analysis #common_10

Motif 3 · Run 1

Python ● execution succeeded

Correct

97.31s

11,654 toks

Infron · Motif 3 · 46문항 × 3회 · Python TAR. 131,072 output tokens · 기본 1,800초 · 6+1 turns. ACC는 전체 138회, Pass@1은 각 문항의 첫 유효 시도, Pass@3는 3회 내 정답으로 계산합니다.

Problem Statement

상수 $a$ ( $a>1$ )에 대하여 곡선 $y=a^x-2$ 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 A를 지나고 y축에 평행한 직선이 x축과 만나는 점을 B, 곡선 $y=a^x-2$ 의 점근선과 만나는 점을 C라 하자. $\overline{AB}=\overline{BC}$ 이고 삼각형 AOC의 넓이가 8일 때, $a\times\overline{OB}$ 의 값은? (단, O는 원점이다.)

① $2^{13/6}$ ② $2^{7/3}$ ③ $2^{5/2}$ ④ $2^{8/3}$ ⑤ $2^{17/6}$

최종 답은 선택지 번호 1~5 중 하나를 $\boxed{}$ 안에 쓰세요.

Ground Truth

Recorded model response / solution

Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
t=sp.Integer(4)
a=sp.sqrt(2)
val=a*t
sp.simplify(val), val==2**(sp.Rational(5,2))

Tool Output

Execution succeeded

Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
t=sp.Integer(4)
a=sp.sqrt(2)
val=a*t
print(sp.simplify(val))
print(val == 2**(sp.Rational(5,2)))

Tool Output

Execution succeeded 4*sqrt(2) True

Reasoning Process

곡선 $y=a^x-2$ 의 점근선은 $y=-2$ 이다.

점 $A$ 의 $x$ 좌표를 $t$ 라 하면
$A=(t,\ a^t-2)$ , $B=(t,0)$ , $C=(t,-2)$ 이다.

\overline{AB}=a^t-2,\qquad \overline{BC}=2

$\overline{AB}=\overline{BC}$ 이므로

a^t-2=2 \implies a^t=4

삼각형 $AOC$ 에서 밑변 $AC$ 의 길이는

(a^t-2)-(-2)=a^t=4

높이는 $t$ 이므로

\text{넓이}=\frac12\cdot 4\cdot t=2t=8

따라서

t=4

이제 $a^4=4$ 이므로

a=4^{1/4}=\sqrt2

또 $\overline{OB}=t=4$ 이므로

a\cdot \overline{OB}=\sqrt2\cdot 4=4\sqrt2=2^{5/2}

따라서 정답은 ③이다.

\boxed{3}

Final Model Output

Comparative Analysis (Pcommon_10) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

Motif 3

51.0

Grok 4.7

50.4

Union Alpha

41.4

Solar Pro 4

34.9

MiMo V2.6 Pro

30.9

Muse Spark 1.3

14.8

Solar Mini 4 Preview

10.8

DeepSeek V4.1 Flash

8.5

Avg Token Usage

Grok 4.7

15,308

Solar Mini 4 Preview

10,949

Motif 3

7,121

Muse Spark 1.3

5,498

DeepSeek V4.1 Flash

4,527

MiMo V2.6 Pro

3,820

Union Alpha

3,661

Solar Pro 4

2,543