Problem Analysis #common_11

Recorded Python call:

import sympy as sp

t = sp.symbols('t', real=True)

# ㄱ: k=0, t=1에서 위치
k = 0
v = t**2 - k*t + 4
x1 = sp.integrate(v, (t, 0, 1))
print("ㄱ: x(1) =", x1, "->", sp.simplify(x1) == sp.Rational(13,3))

# ㄴ: k=3, 방향 변화 횟수 확인
k = 3
v = t**2 - k*t + 4
roots = sp.solve(v, t)
print("ㄴ: v(t) =", v, ", 실근:", roots, "(판별식:", 9-16, ")")
print("   v(0)=", v.subs(t,0), "항상 양수이므로 방향 변화 없음 ->", False)

# ㄷ: k=5, t=0에서 2까지 이동 거리
k = 5
v = t**2 - k*t + 4
roots = sp.solve(v, t)
print("ㄷ: v(t) =", v, ", 실근:", roots)
# 절댓값 적분
v_abs = sp.Abs(v)
# 부호 변환 구간 고려하여 적분
dist = sp.integrate(v, (t, 0, 1)) + sp.integrate(-v, (t, 1, 2))
print("   거리 =", sp.simplify(dist), "->", sp.simplify(dist) == 3)

Explanation:

점 P의 위치 $x(t)$는 초기 조건 $x(0)=0$과 속도 $v(t)=t^2-kt+4$로부터 $x(t)=\int_0^t v(s)\,ds$로 구한다.

• ㄱ: $k=0$일 때 $v(t)=t^2+4$.
  $x(1)=\int_0^1 (t^2+4)\,dt = \left[\frac{t^3}{3}+4t\right]_0^1 = \frac{1}{3}+4 = \frac{13}{3}$.
  → 참

• ㄴ: $k=3$일 때 $v(t)=t^2-3t+4$.
  판별식 $\Delta = 9-16 = -7 < 0$이므로 실근이 없고, $v(0)=4>0$이므로 모든 $t\ge0$에서 $v(t)>0$이다. 따라서 운동 방향이 한 번도 바뀌지 않는다.
  → 거짓

• ㄷ: $k=5$일 때 $v(t)=t^2-5t+4 = (t-1)(t-4)$.
  $0\le t\le 2$에서 $v(t)$는 $[0,1)$에서 양수, $(1,2]$에서 음수이므로 이동 거리는
  $\int_0^1 v(t)\,dt + \int_1^2 (-v(t))\,dt = \frac{11}{6} + \frac{7}{6} = 3$.
  → 참

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

$\boxed{3}$