Problem Analysis #common_13

Motif 3 · Run 1

Python ● execution succeeded
Correct
52.86s
4,424 toks

Infron · Motif 3 · 46문항 × 3회 · Python TAR. 131,072 output tokens · 기본 1,800초 · 6+1 turns. ACC는 전체 138회, Pass@1은 각 문항의 첫 유효 시도, Pass@3는 3회 내 정답으로 계산합니다.

Problem Statement

함수 f(x)=x2−4x−3f(x)=x^2-4x-3에 대하여 곡선 y=f(x)y=f(x) 위의 점 (1,−6)(1,-6)에서의 접선을 l이라 하고, 함수 g(x)=(x3−2x)f(x)g(x)=(x^3-2x)f(x)에 대하여 곡선 y=g(x)y=g(x) 위의 점 (1,6)(1,6)에서의 접선을 m이라 하자. 두 직선 l, m과 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① 2121 ② 2828 ③ 3535 ④ 4242 ⑤ 4949

최종 답은 선택지 번호 1~5 중 하나를 \boxed{} 안에 쓰세요.

Ground Truth
5
Recorded model response / solution
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
f = x**2 - 4*x - 3
fp = sp.diff(f, x)

# Tangent l at (1, -6)
fp1 = fp.subs(x, 1)
print("f'(1) =", fp1)
l = -6 + fp1 * (x - 1)
print("Line l:", sp.simplify(l))

g = (x**3 - 2*x) * f
gp = sp.diff(g, x)

print("g(1) =", g.subs(x, 1))
gp1 = gp.subs(x, 1)
print("g'(1) =", gp1)
m = 6 + gp1 * (x - 1)
print("Line m:", sp.simplify(m))

# Intersection of l and m
intersection = sp.solve(sp.Eq(l, m), x)
print("Intersection x:", intersection)

# Area
# At x=0: l gives y=-4, m gives y=10
# At intersection x=7: y=-18
# Triangle vertices: (0,-4), (0,10), (7,-18)
base = 10 - (-4)
height = 7
area = sp.Rational(1,2) * base * height
print("Area:", area)
Tool Output
Execution succeeded f'(1) = -2 Line l: -2*x - 4 g(1) = 6 g'(1) = -4 Line m: 10 - 4*x Intersection x: [7] Area: 49
Reasoning Process

해설:

1단계: 접선 l 구하기

  • f(x)=x2−4x−3f(x) = x^2 - 4x - 3, f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4
  • f′(1)=−2f'(1) = -2, 점 (1,−6)(1, -6)에서의 접선: y=−2(x−1)−6=−2x−4y = -2(x-1) - 6 = -2x - 4

2단계: 접선 m 구하기

  • g(x)=(x3−2x)(x2−4x−3)=x5−4x4−5x3+8x2+6xg(x) = (x^3 - 2x)(x^2 - 4x - 3) = x^5 - 4x^4 - 5x^3 + 8x^2 + 6x
  • g′(x)=5x4−16x3−15x2+16x+6g'(x) = 5x^4 - 16x^3 - 15x^2 + 16x + 6, g′(1)=−4g'(1) = -4
  • 점 (1,6)(1, 6)에서의 접선: y=−4(x−1)+6=−4x+10y = -4(x-1) + 6 = -4x + 10

3단계: 교점과 영역 확인

  • 두 직선의 교점: −2x−4=−4x+10⇒x=7-2x - 4 = -4x + 10 \Rightarrow x = 7, y=−18y = -18
  • y축과의 교점: ll에서 (0,−4)(0, -4), mm에서 (0,10)(0, 10)
  • 세 직선이 이루는 삼각형의 꼭짓점: (0,−4)(0, -4), (0,10)(0, 10), (7,−18)(7, -18)

4단계: 넓이 계산

  • 밑변(y축 위): 10−(−4)=1410 - (-4) = 14
  • 높이: 교점의 xx좌표 =7= 7
  • 넓이=12×14×7=49\text{넓이} = \dfrac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49

정답: 5\boxed{5}

Final Model Output
5

Comparative Analysis (Pcommon_13) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

Solar Pro 4
48.7
Motif 3
48.0
Grok 4.7
42.1
Union Alpha
36.8
MiMo V2.6 Pro
17.9
Muse Spark 1.3
9.2
DeepSeek V4.1 Flash
7.2
Solar Mini 4 Preview
6.9

Avg Token Usage

Motif 3
10,189
Grok 4.7
9,278
Union Alpha
9,158
Solar Pro 4
5,541
Solar Mini 4 Preview
5,440
Muse Spark 1.3
4,484
DeepSeek V4.1 Flash
4,320
MiMo V2.6 Pro
1,438
    CSAT 2026 · Problem common_13 · Motif 3 | EntropyMath