Problem Analysis #common_15

Recorded Python call:

import sympy as sp

# Define the piecewise function and compute h(3) with a = 4
a = 4
x = sp.Symbol('x', real=True)

# g(t) - f(t) for t in [0,1): -t^2 + t
expr1 = -x**2 + x
int1 = sp.integrate(expr1, (x, 0, 1))
print(f"∫₀¹ (-t²+t) dt = {int1}")

# g(t) - f(t) for t in [1,3]: -t^2 + 5t - 4
expr2 = -x**2 + 5*x - 4
int2 = sp.integrate(expr2, (x, 1, 3))
print(f"∫₁³ (-t²+5t-4) dt = {int2}")

h3 = int1 + int2
print(f"h(3) = {h3} = {float(h3)}")

k = 4
result = k + h3
print(f"k + h(3) = {k} + {h3} = {result}")

풀이

1단계: $h'(x) = g(x) - f(x)$ 계산

2단계: $h'(x) = 0$인 지점 분석

• $x = 0$: 항상 성립하지만, 좌우에서 $h' > 0$ (부호 변화 없음 → 극값 아님)
• $x = 1$: $h'(1^-) = 0$, $h'(1^+) = -(1-1)(1-a) = 0$
  • $a < 1$: 좌우에서 부호 변화 $(+\to-)$ → 극대
  • $a \geq 1$: 부호 변화 없음 → 극값 아님
• $x = a$ (단 $a \geq 1$): $h'(x) = -(x-1)(x-a)$
  • $a > 1$: $1 < x < a$에서 $h' > 0$, $x > a$에서 $h' < 0$ → 극대
• $x^2 + ax + a = 0$의 근 ($x < -1$): 판별식 $a^2-4a \geq 0$ 필요 → $a \leq 0$ 또는 $a \geq 4$
  • $0 \leq a < 4$: 실근 없음
  • $a < 0$: 근이 $x \geq -1$ 구간에 있음 (해당 구간 아님)
  • $a = 4$: 중근 $x = -2$, 부호 변화 없음 (극값 아님)
  • $a > 4$: 두 근 $x_2 < x_1 < -1$, 각각 극대/극소 → 2개 추가 극값

3단계: 극값이 정확히 하나인 $a$의 범위

| 범위 | 극값 개수 | |------|-----------| | $a < 1$ | $x=1$에서 1개 | | $a = 1$ | $x=1$에서 1개 | | $1 < a < 4$ | $x=a$에서 1개 | | $a = 4$ | $x=4$에서 1개 | | $a > 4$ | $x_2, x_1, a$에서 3개 |

따라서 $a$의 최댓값은 $k = 4$

4단계: $h(3)$ 계산 ($a = 4$)

5단계: 최종값

정답: ④