Problem Analysis #common_19

Motif 3 · Run 1

Python ● execution succeeded
Correct
13.56s
2,497 toks

Infron · Motif 3 · 46문항 × 3회 · Python TAR. 131,072 output tokens · 기본 1,800초 · 6+1 turns. ACC는 전체 138회, Pass@1은 각 문항의 첫 유효 시도, Pass@3는 3회 내 정답으로 계산합니다.

Problem Statement

−2≤x≤2-2\le x\le2인 모든 실수 x에 대하여 부등식 −k≤2x3+3x2−12x−8≤k-k\le 2x^3+3x^2-12x-8\le k가 성립하도록 하는 양수 k의 최솟값을 구하시오.

최종 정수 답을 \boxed{} 안에 쓰세요.

Ground Truth
15
Recorded model response / solution
Reasoning Process

Recorded Python call:

import numpy as np

def f(x):
    return 2*x**3 + 3*x**2 - 12*x - 8

xs = np.linspace(-2, 2, 100001)
vals = f(xs)
max_abs = np.max(np.abs(vals))
max_val = np.max(vals)
min_val = np.min(vals)
print("max f:", max_val, "at", xs[np.argmax(vals)])
print("min f:", min_val, "at", xs[np.argmin(vals)])
print("max |f|:", max_abs)
Tool Output
Execution succeeded max f: 12.0 at -2.0 min f: -15.0 at 1.0000000000000004 max |f|: 15.0
Reasoning Process
f(x)=2x3+3x2−12x−8f(x)=2x^3+3x^2-12x-8

위 부등식이 모든 x∈[−2,2]x\in[-2,2]에서 성립하려면

k≥max⁡x∈[−2,2]∣f(x)∣k\ge \max_{x\in[-2,2]}|f(x)|

이어야 한다.

도함수는

f′(x)=6x2+6x−12=6(x+2)(x−1)f'(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)

이므로, [−2,2][-2,2]에서의 극값과 끝점은 x=−2,1,2x=-2,1,2이다.

각 점에서의 함수값은

f(−2)=12,f(1)=−15,f(2)=−4f(-2)=12,\qquad f(1)=-15,\qquad f(2)=-4

이다.

또한 f′(x)f'(x)의 부호를 보면, ff는 [−2,1][-2,1]에서 감소하고 [1,2][1,2]에서 증가하므로, ff의 최댓값은 1212, 최솟값은 −15-15이다.

따라서

max⁡x∈[−2,2]∣f(x)∣=15\max_{x\in[-2,2]}|f(x)|=15

이므로, 조건을 만족하는 양수 kk의 최솟값은

15\boxed{15}
Final Model Output
15

Comparative Analysis (Pcommon_19) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

Solar Pro 4
59.7
Union Alpha
27.3
Grok 4.7
25.3
MiMo V2.6 Pro
21.3
Motif 3
18.4
Muse Spark 1.3
10.4
DeepSeek V4.1 Flash
5.2
Solar Mini 4 Preview
3.7

Avg Token Usage

Grok 4.7
12,394
Solar Pro 4
7,251
Motif 3
7,096
Muse Spark 1.3
4,372
DeepSeek V4.1 Flash
3,362
Union Alpha
2,967
MiMo V2.6 Pro
2,773
Solar Mini 4 Preview
2,180
    CSAT 2026 · Problem common_19 · Motif 3 | EntropyMath