Problem Analysis #common_22

Recorded Python call:

import math

# parameters
S = 77/4
T = 133/4

# equation: log16(8a+2) = T + 0.5 - 4^{S - a - 1}
# define function f(a) = log16(8a+2) + 4^{S - a - 1} - (T + 0.5)
# find root a > 0, also b>0, y>0

def f(a):
    # check domain
    if 8*a+2 <= 0:
        return None
    b = math.log(8*a+2, 16)
    # 4^{S - a - 1}
    exp = S - a - 1
    # if exp is very large, may overflow; but we'll handle
    term = 4**exp
    return b + term - (T + 0.5)

# Let's try to find a using scanning
import numpy as np

def find_root():
    # a likely between 0 and maybe 20
    # scan
    for a in np.linspace(0.1, 25, 2501):
        val = f(a)
        if val is not None and abs(val) < 10:
            pass
    # use bisection if sign change
    # We'll search manually
    low = 0.1
    high = 25
    # first find sign change
    low_val = f(low)
    high_val = f(high)
    print("low_val at 0.1:", low_val)
    print("high_val at 25:", high_val)
    
find_root()

Recorded Python call:

import math

def f(a):
    b = math.log(8*a+2, 16)
    exp = 77/4 - a - 1  # S - a - 1
    term = 4**exp
    return b + term - 133/4 - 0.5  # T + 0.5 = 133/4 + 1/2 = 133/4 + 2/4 = 135/4 = 33.75

# bisection between 15.7 and 16
lo, hi = 15.7, 16
for _ in range(50):
    mid = (lo+hi)/2
    if f(mid) > 0:
        lo = mid
    else:
        hi = mid
print("root approx:", mid)
print("f(mid):", f(mid))
a = mid
b = math.log(8*a+2, 16)
print("a:", a)
print("b:", b)
# check x, y
S = 77/4
T = 133/4
x = S - a
y = T - b
print("x:", x)
print("y:", y)
print("Check y = 4^{x-1} - 0.5:", 4**(x-1) - 0.5)
print("Collinearity check: y/x vs a/b:", y/x, a/b)
print("a*b:", a*b)

주어진 조건을 정리하면 다음과 같다.

• 점 $A(a,b)$는 $y=\log_{16}(8x+2)$ 위에 있으므로

• 점 $B(x,y)$는 $y=4^{x-1}-\frac12$ 위에 있으므로

• 점 $A$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점은 $A'(b,a)$이다. 이 점이 직선 $OB$ 위에 있으므로 원점 $O$를 지나는 같은 직선 위에 있어

• 선분 $AB$의 중점이 $\left(\frac{77}{8}, \frac{133}{8}\right)$이므로

이제 방정식을 푼다. $a+x = \frac{77}{4}$에서 $x = \frac{77}{4} - a$, $b+y = \frac{133}{4}$에서 $y = \frac{133}{4} - b$이다. 이를 $\frac{y}{x} = \frac{a}{b}$에 대입하면

또한 $b = \log_{16}(8a+2)$이고 $y = 4^{x-1} - \frac12$이므로

이 식들을 풀면 $a = \frac{63}{4}$, $b = \frac{7}{4}$를 얻는다.

실제로 대입하여 검산하면:

• $8a+2 = 8\cdot\frac{63}{4} + 2 = 128$, $\log_{16}128 = \frac74 = b$.
• $x = \frac{77}{4} - \frac{63}{4} = \frac{14}{4} = \frac72$, $y = 4^{3/2} - \frac12 = 8 - \frac12 = \frac{15}{2}$? 잠깐, $x = \frac72$이면 $x-1 = \frac52$, $4^{5/2} = 32$, $y = 32 - \frac12 = \frac{63}{2}$. 그러면 $\frac{y}{x} = \frac{63/2}{7/2} = 9$, $\frac{a}{b} = \frac{63/4}{7/4} = 9$로 일치한다.
• 중점 좌표: $\left(\frac{63/4 + 7/2}{2}, \frac{7/4 + 63/2}{2}\right) = \left(\frac{77/4}{2}, \frac{133/4}{2}\right) = \left(\frac{77}{8}, \frac{133}{8}\right)$.

따라서 $a \times b = \frac{63}{4} \times \frac{7}{4} = \frac{441}{16}$이다. $p$와 $q$는 서로소이므로 $p=16$, $q=441$이고,

$\boxed{457}$