Problem Analysis #geometry_27

Motif 3 · Run 1

Python ● execution succeeded

Correct

229.36s

39,177 toks

Infron · Motif 3 · 46문항 × 3회 · Python TAR. 131,072 output tokens · 기본 1,800초 · 6+1 turns. ACC는 전체 138회, Pass@1은 각 문항의 첫 유효 시도, Pass@3는 3회 내 정답으로 계산합니다.

Problem Statement

그림과 같이 지름의 길이가 5인 두 원 $C_1$ , $C_2$ 를 두 밑면으로 하는 원기둥이 있고, 원 $C_1$ 위의 $\overline{AB}=5$ 인 두 점 A,B와 원 $C_2$ 위의 $\overline{CD}=3$ 인 두 점 C,D에 대하여 $\overline{AD}=\overline{BC}$ 이다. 점 D에서 원 $C_1$ 을 포함하는 평면에 내린 수선의 발을 H라 하자. 사각형 ABCD의 넓이가 삼각형 ABH의 넓이의 4배일 때, 이 원기둥의 높이는?

[원문 그림의 텍스트 전사] 그림에서 C1은 아래 밑면, C2는 위 밑면이다. 사각형의 꼭짓점 순서는 A,B,C,D이고, 아래 밑면의 삼각형 ABH 및 수선 DH가 그려져 있다.

① $3\sqrt2$ ② $\sqrt{19}$ ③ $2\sqrt5$ ④ $\sqrt{21}$ ⑤ $\sqrt{22}$

최종 답은 선택지 번호 1~5 중 하나를 $\boxed{}$ 안에 쓰세요.

Ground Truth

Recorded model response / solution

Reasoning Process

Recorded Python call:

from sympy import Rational, sqrt

R = Rational(5, 2)
x = Rational(3, 2)
y = 2
h = sqrt(21)

A = (-R, 0, 0)
B = (R, 0, 0)
C = (x, y, h)
D = (-x, y, h)

def dist2(P, Q):
    return sum((a - b)**2 for a, b in zip(P, Q))

AD2 = dist2(A, D)
BC2 = dist2(B, C)
CD2 = dist2(C, D)

area_ABCD = (5 + 3) / 2 * sqrt(y**2 + h**2)
area_ABH = Rational(5, 2) * abs(y)

print("AD^2 =", AD2)
print("BC^2 =", BC2)
print("CD^2 =", CD2)
print("area_ABCD =", area_ABCD)
print("area_ABH =", area_ABH)
print("AD=BC:", AD2 == BC2)
print("CD=3:", CD2 == 9)
print("ABCD = 4*ABH:", area_ABCD == 4*area_ABH)
print("height h =", h)

Tool Output

Execution succeeded AD^2 = 26 BC^2 = 26 CD^2 = 9 area_ABCD = 20.0000000000000 area_ABH = 5 AD=BC: True CD=3: True ABCD = 4*ABH: False height h = sqrt(21)

Reasoning Process

Recorded Python call:

from sympy import Rational, sqrt, simplify

R = Rational(5, 2)
x = Rational(3, 2)
y = 2
h = sqrt(21)

A = (-R, 0, 0)
B = (R, 0, 0)
C = (x, y, h)
D = (-x, y, h)

def dist2(P, Q):
    return sum((a - b)**2 for a, b in zip(P, Q))

AD2 = dist2(A, D)
BC2 = dist2(B, C)
CD2 = dist2(C, D)

area_ABCD = Rational(5 + 3, 2) * sqrt(y**2 + h**2)
area_ABH = Rational(5, 2) * abs(y)

print("AD^2 =", AD2)
print("BC^2 =", BC2)
print("CD^2 =", CD2)
print("area_ABCD =", simplify(area_ABCD))
print("area_ABH =", simplify(area_ABH))
print("ABCD = 4*ABH:", simplify(area_ABCD) == 4*simplify(area_ABH))
print("height h =", h)

Tool Output

Execution succeeded AD^2 = 26 BC^2 = 26 CD^2 = 9 area_ABCD = 20 area_ABH = 5 ABCD = 4*ABH: True height h = sqrt(21)

Reasoning Process

좌표계를 설정하여 원기둥의 밑면 반지름을 $R=\frac52$ , 높이를 $h$ 라 하자.
아래 밑면 $z=0$ 에서 $AB=5$ 이므로 $AB$ 는 지름이다.
$A=(-R,0,0),\ B=(R,0,0)$ 로 두고, 위의 점을 $C=(x,y,h),\ D=(u,v,h)$ 라 하자.

$C,D$ 는 반지름 $R$ 인 원 위에 있으므로

x^2+y^2=R^2,\qquad u^2+v^2=R^2

이다. 또한 $AD=BC$ 이므로

AD^2=(u+R)^2+v^2+h^2=2R^2+2Ru+h^2,

BC^2=(x-R)^2+y^2+h^2=2R^2-2Rx+h^2.

따라서 $u=-x$ 이다.

이때 $v=\pm y$ 인데, $v=-y$ 이면 $CD=2R=5$ 가 되어 모순이므로 $v=y$ 이다.
따라서

C=(x,y,h),\qquad D=(-x,y,h)

이고, $CD=3$ 이므로

2|x|=3\Rightarrow |x|=\frac32.

그러므로

y^2=R^2-x^2=\frac{25}{4}-\frac{9}{4}=4\Rightarrow |y|=2.

즉 $AB$ 와 $CD$ 는 서로 평행이며, 사각형 $ABCD$ 는 밑변의 길이가 각각 $5,3$ 인 사다리꼴이다.
두 평행선 사이의 거리는 $\sqrt{y^2+h^2}=\sqrt{4+h^2}$ 이므로

[ABCD]=\frac{5+3}{2}\sqrt{4+h^2}=4\sqrt{4+h^2}.

점 $D$ 의 수선의 발 $H=(-x,y,0)$ 에서 직선 $AB$ 까지의 거리는 $|y|=2$ 이므로

[\triangle ABH]=\frac12\cdot 5\cdot 2=5.

조건 $[ABCD]=4[\triangle ABH]$ 에 의해

4\sqrt{4+h^2}=20

이므로

\sqrt{4+h^2}=5\Rightarrow h^2=21\Rightarrow h=\sqrt{21}.

따라서 원기둥의 높이는 $\sqrt{21}$ 이므로 정답은 ④이다.

검증 계산:

AD^2 = 26
BC^2 = 26
CD^2 = 9
area_ABCD = 20
area_ABH = 5
ABCD = 4*ABH: True
height h = sqrt(21)

\boxed{4}

Final Model Output

Comparative Analysis (Pgeometry_27) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

MiMo V2.6 Pro

312.4

Grok 4.7

265.5

Union Alpha

194.2

Motif 3

191.7

Solar Pro 4

171.5

Solar Mini 4 Preview

52.0

Muse Spark 1.3

42.5

DeepSeek V4.1 Flash

41.7

Avg Token Usage

Grok 4.7

64,795

Solar Mini 4 Preview

39,855

Motif 3

35,357

Union Alpha

30,889

MiMo V2.6 Pro

20,186

DeepSeek V4.1 Flash

19,827

Solar Pro 4

18,122

Muse Spark 1.3

16,930