Infron · Motif 3 · 46문항 × 3회 · Python TAR. 131,072 output tokens · 기본 1,800초 · 6+1 turns. ACC는 전체 138회, Pass@1은 각 문항의 첫 유효 시도, Pass@3는 3회 내 정답으로 계산합니다.
그림과 같이 , 인 사면체 ABCD가 있고, 점 A에서 직선 CD에 내린 수선의 발 H에 대하여 두 평면 ABH와 BCD는 서로 수직이고 이다. 삼각형 ABH의 무게중심을 G라 하고, 점 G를 중심으로 하고 평면 ACD에 접하는 구를 S라 하자. 인 구 S 위의 모든 점 P가 나타내는 도형을 T라 할 때, 도형 T의 평면 ABC 위로의 정사영의 넓이는?
[원문 그림의 텍스트 전사] 그림에서 H는 선분 CD 위에 있다. A는 밑면 BCD 밖에 있고, 구 S의 중심 G는 삼각형 ABH 내부에 표시되어 있다.
① ② ③ ④ ⑤
최종 답은 선택지 번호 1~5 중 하나를 안에 쓰세요.
Recorded Python call:
import sympy as sp
h=sp.symbols('h', real=True)
y=(h**2+16)/8
z2=((16-h**2)*(48+h**2))/64
z=sp.sqrt(z2) # positive branch
A=sp.Matrix([h,y,z])
B=sp.Matrix([0,4,0])
C=sp.Matrix([-2,0,0])
D=sp.Matrix([2,0,0])
H=sp.Matrix([h,0,0])
G=(A+B+H)/3
AG=A-G
# radius r = distance G to plane ACD
# plane ACD normal via cross (D-C)x(A-C)
n_acd=(D-C).cross(A-C)
sp.simplify(n_acd)
Recorded Python call:
n_acd_s=sp.simplify(n_acd)
n_acd_s
Recorded Python call:
import sympy as sp
h=sp.symbols('h', real=True)
y=(h**2+16)/8
z2=((16-h**2)*(48+h**2))/64
z=sp.sqrt(z2)
A=sp.Matrix([h,y,z]); B=sp.Matrix([0,4,0]); C=sp.Matrix([-2,0,0]); D=sp.Matrix([2,0,0]); H=sp.Matrix([h,0,0])
G=(A+B+H)/3
AG=A-G
n_acd=(D-C).cross(A-C)
sp.simplify(n_acd), sp.simplify(n_acd.dot(G-C))
Recorded Python call:
import sympy as sp
h=sp.symbols('h', real=True)
y=(h**2+16)/8
z2=((16-h**2)*(48+h**2))/64
z=sp.sqrt(z2)
A=sp.Matrix([h,y,z]); B=sp.Matrix([0,4,0]); C=sp.Matrix([-2,0,0]); D=sp.Matrix([2,0,0]); H=sp.Matrix([h,0,0])
G=(A+B+H)/3
AG=A-G
n_acd=(D-C).cross(A-C)
print("n_acd", sp.simplify(n_acd))
print("dot", sp.simplify(n_acd.dot(G-C)))
# plane ABC normal
N_abc=(B-A).cross(C-A)
print("N_abc", sp.simplify(N_abc))
# d^2, r^2
d2=sp.simplify(AG.dot(AG))
r2=sp.simplify(n_acd.dot(G-C)**2 / (n_acd.dot(n_acd)))
print("d2", d2)
print("r2", r2)
Recorded Python call:
import sympy as sp
h,z=sp.symbols('h z', real=True)
y=(h**2+16)/8
A=sp.Matrix([h,y,z]); B=sp.Matrix([0,4,0]); C=sp.Matrix([-2,0,0])
AG=A-(A+B+sp.Matrix([h,0,0]))/3 # A-G
sp.simplify(AG)
Recorded Python call:
import sympy as sp
h,z=sp.symbols('h z', real=True)
y=(h**2+16)/8
A=sp.Matrix([h,y,z]); B=sp.Matrix([0,4,0]); C=sp.Matrix([-2,0,0])
H=sp.Matrix([h,0,0])
G=(A+B+H)/3
AG=A-G
print(AG)
N=(B-A).cross(C-A)
print(N)
dot=sp.simplify(AG.dot(N))
print("dot", dot)
# lengths
d2=sp.simplify(AG.dot(AG))
N2=sp.simplify(N.dot(N))
print("d2", d2, "N2", N2)
<tool_call>{"name": "python", "arguments": {"code": "import sympy as sp\nh=sp.symbols('h', real=True)\ny=(h2+16)/8\nz2=((16-h2)*(48+h2))/64\nz=sp.sqrt(z2)\nA=sp.Matrix([h,y,z]); B=sp.Matrix([0,4,0]); C=sp.Matrix([-2,0,0]); H=sp.Matrix([h,0,0])\nG=(A+B+H)/3\nAG=A-G\nN=(B-A).cross(C-A)\ndot=sp.simplify(AG.dot(N))\nd2=sp.simplify(AG.dot(AG))\nN2=sp.simplify(N.dot(N))\nr2=sp.simplify(dot2/N2)\nR0=sp.simplify(d2-r2)\nprint("dot", dot)\nprint("d2", d2)\nprint("N2", N2)\nprint("r2", r2)\nprint("R0", R0)
numeric check for h=1\nimport math\nhv=1.0\nzv=math.sqrt(((16-hv2)*(48+hv2))/64)\nprint("numeric R0", float(R0.subs(h,1).subs(z2,z2.subs(h,1))))
"}}</tool_call>
Tool-call protocol error
The response ended with malformed or unexecuted tool-call markup.
Comparative Analysis (Pgeometry_28) (Average across runs)
Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.