Problem Analysis #probability_27

Motif 3 · Run 1

Python ● execution succeeded
Correct
30.57s
4,558 toks

Infron · Motif 3 · 46문항 × 3회 · Python TAR. 131,072 output tokens · 기본 1,800초 · 6+1 turns. ACC는 전체 138회, Pass@1은 각 문항의 첫 유효 시도, Pass@3는 3회 내 정답으로 계산합니다.

Problem Statement

이산확률변수 X가 가지는 값이 0부터 4까지의 정수이고 P(X=x)={∣2x−1∣12(x=0,1,2,3)a(x=4)P(X=x)=\begin{cases}\frac{\lvert2x-1\rvert}{12}&(x=0,1,2,3)\\a&(x=4)\end{cases}일 때, V(1aX)V(\frac1a X)의 값은? (단, a는 0이 아닌 상수이다.)

① 3636 ② 3939 ③ 4242 ④ 4545 ⑤ 4848

최종 답은 선택지 번호 1~5 중 하나를 \boxed{} 안에 쓰세요.

Ground Truth
4
Recorded model response / solution
Reasoning Process

Recorded Python call:

from fractions import Fraction

# 확률값 정의
a = Fraction(1, 6)  # 전체 확률의 합이 1이 되도록 a 결정

P = {
    0: Fraction(1, 12),
    1: Fraction(1, 12),
    2: Fraction(3, 12),
    3: Fraction(5, 12),
    4: a
}

# 기댓값 계산
E_X = sum(x * p for x, p in P.items())
E_X2 = sum(x**2 * p for x, p in P.items())
Var_X = E_X2 - E_X**2

# V(X/a) = V(6X) = 36 * Var(X)
Var_X_scaled = 36 * Var_X

print("P:", {k: float(v) for k, v in P.items()})
print("E[X]:", float(E_X), "=", E_X)
print("E[X^2]:", float(E_X2), "=", E_X2)
print("Var(X):", float(Var_X), "=", Var_X)
print("V(X/a) = V(6X):", float(Var_X_scaled), "=", Var_X_scaled)
Tool Output
Execution succeeded P: {0: 0.08333333333333333, 1: 0.08333333333333333, 2: 0.25, 3: 0.4166666666666667, 4: 0.16666666666666666} E[X]: 2.5 = 5/2 E[X^2]: 7.5 = 15/2 Var(X): 1.25 = 5/4 V(X/a) = V(6X): 45.0 = 45
Reasoning Process

주어진 확률질량함수에서 모든 확률의 합은 1이므로:

∑x=03∣2x−1∣12+a=1\sum_{x=0}^{3} \frac{|2x-1|}{12} + a = 1

각 값을 계산하면:

  • x=0:∣2⋅0−1∣=1⇒112x=0: |2\cdot0-1|=1 \Rightarrow \frac{1}{12}
  • x=1:∣2⋅1−1∣=1⇒112x=1: |2\cdot1-1|=1 \Rightarrow \frac{1}{12}
  • x=2:∣2⋅2−1∣=3⇒312x=2: |2\cdot2-1|=3 \Rightarrow \frac{3}{12}
  • x=3:∣2⋅3−1∣=5⇒512x=3: |2\cdot3-1|=5 \Rightarrow \frac{5}{12}

합계: 1+1+3+512=1012=56\frac{1+1+3+5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

따라서 a=1−56=16a = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.

이제 V ⁣(1aX)=V(6X)=36 V(X)V\!\left(\frac{1}{a}X\right) = V(6X) = 36\,V(X)를 구하기 위해 V(X)V(X)를 계산한다.

기댓값:

E[X]=0⋅112+1⋅112+2⋅312+3⋅512+4⋅16=3012=52E[X] = 0\cdot\frac{1}{12} + 1\cdot\frac{1}{12} + 2\cdot\frac{3}{12} + 3\cdot\frac{5}{12} + 4\cdot\frac{1}{6} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}

E[X2]E[X^2]:

E[X2]=0+1⋅112+4⋅312+9⋅512+16⋅16=9012=152E[X^2] = 0 + 1\cdot\frac{1}{12} + 4\cdot\frac{3}{12} + 9\cdot\frac{5}{12} + 16\cdot\frac{1}{6} = \frac{90}{12} = \frac{15}{2}

분산:

V(X)=E[X2]−(E[X])2=152−(52)2=304−254=54V(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{15}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{30}{4} - \frac{25}{4} = \frac{5}{4}

따라서:

V ⁣(1aX)=36⋅54=45V\!\left(\frac{1}{a}X\right) = 36 \cdot \frac{5}{4} = 45

정답은 선택지 ④번이다.

4\boxed{4}

Final Model Output
4

Comparative Analysis (Pprobability_27) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

Solar Pro 4
42.1
MiMo V2.6 Pro
30.5
Motif 3
27.8
Union Alpha
27.7
Grok 4.7
23.3
Solar Mini 4 Preview
10.3
Muse Spark 1.3
8.6
DeepSeek V4.1 Flash
6.3

Avg Token Usage

Grok 4.7
13,939
Solar Mini 4 Preview
8,317
Motif 3
4,532
Solar Pro 4
4,479
Muse Spark 1.3
4,296
DeepSeek V4.1 Flash
3,775
MiMo V2.6 Pro
3,633
Union Alpha
3,291
    CSAT 2026 · Problem probability_27 · Motif 3 | EntropyMath