Problem Analysis #probability_30

Recorded Python call:

import itertools

count=0
cases={}
for seq in itertools.product([0,1,2], repeat=10):
    if sum(seq)!=8:
        continue
    m=seq.count(1)
    if m not in (4,6):
        continue
    ok=True
    for i,x in enumerate(seq):
        if x==2:
            if i>0 and seq[i-1]!=0:
                ok=False; break
            if i<9 and seq[i+1]!=0:
                ok=False; break
    if ok:
        count+=1
        cases[m]=cases.get(m,0)+1
print(count, cases)

Recorded Python call:

import math
total=0
pairs=[]
for a in range(1,11):
    for b in range(a+2,11):
        M=set()
        for p in (a,b):
            if p>1: M.add(p-1)
            if p<10: M.add(p+1)
        m=len(M)
        R=10-2-m
        k=4-m
        if 0<=k<=R:
            ways=math.comb(R,k)
        else:
            ways=0
        total+=ways
        pairs.append((a,b,m,R,k,ways))
print(total)
from collections import Counter
print(Counter((a,b) for a,b,m,R,k,w in pairs if w))

Recorded Python call:

from collections import Counter
details=[]
for a in range(1,11):
    for b in range(a+2,11):
        M=set()
        for p in (a,b):
            if p>1: M.add(p-1)
            if p<10: M.add(p+1)
        m=len(M)
        R=10-2-m
        k=4-m
        ways=math.comb(R,k) if 0<=k<=R else 0
        details.append((a,b,m,R,k,ways))
print(Counter(d[5] for d in details))
for d in details:
    if d[5]!=1:
        print(d)

Recorded Python call:

import math
details=[]
for a in range(1,11):
    for b in range(a+2,11):
        M=set()
        for p in (a,b):
            if p>1: M.add(p-1)
            if p<10: M.add(p+1)
        m=len(M)
        R=10-2-m
        k=4-m
        ways=math.comb(R,k) if 0<=k<=R else 0
        details.append((a,b,m,R,k,ways))
from collections import Counter
print(Counter(d[5] for d in details))
for d in details:
    if d[5]!=1:
        print(d)
print(sum(d[5] for d in details))

2-주머니의 수를 $a$, 1-주머니의 수를 $b$, 공 없는 주머니의 수를 $c$라 하면

이고, 조건 (가)에 의해 $b=4$ 또는 $b=6$이다.

• $b=6$이면 $a=1,\ c=3$이다. 2가 하나 있을 때 그 이웃은 모두 공 없는 주머니여야 한다.

  • 양끝에 2가 있으면: $2$가지, 이웃 1개가 강제 0, 남은 8자리 중 0 두 개 배치 $\binom{8}{2}=28$씩 → $56$
  • 가운데에 2가 있으면: $8$가지, 이웃 2개가 강제 0, 남은 7자리 중 0 한 개 배치 $\binom{7}{1}=7$씩 → $56$ 따라서 $56+56=112$가지.

• $b=4$이면 $a=2,\ c=4$이다. 2 두 개의 위치를 $i<j$로 잡고 $j-i\ge 2$이어야 한다. 각 2의 이웃은 0으로 강제된다. 강제된 0의 개수를 $m$이라 하면, 나머지 $8-m$ 자유 자리 중 $4-m$개의 0을 배치하므로 경우의 수는 $\binom{8-m}{4-m}$이다.

  • $m=2$: 3쌍, 각 $\binom{6}{2}=15$ → $45$
  • $m=3$: 18쌍, 각 $\binom{5}{1}=5$ → $90$
  • $m=4$: 15쌍, 각 $\binom{4}{0}=1$ → $15$ 따라서 $45+90+15=150$가지.

전체 경우의 수는

이다. 모든 $3^{10}$ 배치를 직접 열거한 확인도 $262$를 준다.

$\boxed{262}$