Problem Analysis #calculus_23

한국어로 설명드리겠습니다. 먼저 수학적으로 확인하고, Python으로 수치 검증을 하겠습니다.

$\tan(6x) \approx 6x$ (x→0일 때), 그러므로 $\dfrac{\tan 6x}{2x} \to \dfrac{6x}{2x} = 3$입니다.

Recorded Python call:

import math

def f(x):
    return math.tan(6*x)/(2*x)

for x in [1e-1, 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5]:
    print(f"x={x:g}, f(x)={f(x):.10f}")

풀이:

$x \to 0$일 때 $\tan 6x \sim 6x$ (소극적 동치)이므로,

Python 수치 검증: $x$를 $0$에 가깝게 줄이면 함수값이 $3.4206 \to 3.0036 \to 3.0000\cdots$로 $3$에 수렴함을 확인했습니다.

따라서 답은 ③입니다.

Recorded Python call:

import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
lim = sp.limit(sp.tan(6*x)/(2*x), x, 0)
print("기호적 극한 =", lim)

기호적 계산으로도 극한값이 $3$임이 확인되었습니다. 답은 선택지 **③ (3)**입니다.

Recorded Python call:

# 최종 확인: Sympy의 tan 등가(tan(t) ~ t) 성질 기반 검산
import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
expr = sp.tan(6*x)/(2*x)
series = sp.series(expr, x, 0, 2)
print("테일러 전개:", series)

테일러 전개 결과도 $3 + O(x^2)$로 $3$에 일치하며, 이는 수치 극한(3.000000…) 및 Sympy 기호 극한($=3$)과 모두 부합합니다.

최종 답: $\boxed{3}$ (선택지 ③)