Problem Analysis #calculus_24

Recorded Python call:

import sympy as sp
x=sp.symbols('x', real=True)
expr=sp.sqrt(sp.sin(x)-sp.sin(x)**3)
# On [0,pi/2], cos>=0 so sqrt(sin x (1-sin^2 x))=sqrt(sin x)*cos x
simplified=sp.sqrt(sp.sin(x))*sp.cos(x)
val_exact=sp.integrate(simplified,(x,0,sp.pi/2))
val_num=sp.N(sp.integrate(expr,(x,0,sp.pi/2)),30)
print(sp.simplify(sp.sin(x)-sp.sin(x)**3 - sp.sin(x)*sp.cos(x)**2))
print(val_exact, sp.simplify(val_exact-sp.Rational(2,3)))
print(val_num)

풀이. $0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$에서 $\cos x\ge 0$이므로

이고, 따라서 피적분함수는 $\sqrt{\sin x}\,\cos x$가 됩니다.

치환: $t=\cos x,\ dt=-\sin x\,dx$ 대신 $\sin x$ 기준으로 보면 $\sqrt{\sin x}$이므로 $u=\sin x$로 두면 $du=\cos x\,dx$이고 구간은 $[0,1]$이 되어

검증(실행된 계산): Python/SymPy로 (1) $\sin x-\sin^3x=\sin x\cos^2 x$임을 확인하고, (2) $\int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin x}\cos x\,dx$를 심볼릭 적분한 결과 $2/3$, (3) 원래 피적분함수의 수치 적분값도 $0.666\ldots$로 일치함을 확인했습니다. 따라서 답은 선택지 ④입니다.

Recorded Python call:

import sympy as sp
x=sp.symbols('x', real=True)
expr=sp.sqrt(sp.sin(x)-sp.sin(x)**3)
val=sp.integrate(sp.sqrt(sp.sin(x))*sp.cos(x),(x,0,sp.pi/2))
print(sp.simplify(sp.sin(x)-sp.sin(x)**3 - sp.sin(x)*sp.cos(x)**2))  # 0 확인
print(sp.simplify(val - sp.Rational(2,3)))  # 0 확인
print(sp.N(sp.integrate(expr,(x,0,sp.pi/2)),15))  # 수치 적분과 일치 확인

모든 검증이 일치합니다: 부등식 성분 확인($\sin x-\sin^3x-\sin x\cos^2x=0$), 심볼릭 적분값 $2/3$, 원래 피적분함수의 수치 적분 $0.6667\ldots$.

따라서 답은 ④ $\dfrac{2}{3}$ 이며, 선택지 번호는 4입니다.

$\boxed{4}$