Problem Analysis #calculus_25

풀이

1단계: $a_n$의 크기 분석 (조이기)

조건 $\sqrt{9n^2-5}+2n < a_n < 5n+1$에서:

• 하한: $\sqrt{9n^2-5}+2n - 5n = \sqrt{9n^2-5}-3n = \dfrac{-5}{\sqrt{9n^2-5}+3n} \to 0$
• 상한: $5n+1 - 5n = 1$

즉 $a_n = 5n + d_n$, 여기서 $d_n \in (-1,\,1)$로 유계다 (모든 $n$에 대해 $-1 < \sqrt{9n^2-5}-3n$, $a_n < 5n+1$).

2단계: 극한 계산

$d_n$이 유계이므로 $n^2$으로 나누면 분자 $\to 25$, 분모 $\to 10$, 즉 극한은 $d_n$의 구체적 값과 무관하게 $\frac{25}{10}=\frac52$.

이를 Python으로 수치·기호 검증한다: 경계 근처의 $a_n$ 값들과 일반적인 유계 $d$에 대해 극한을 확인한다.

Recorded Python call:

import math
from fractions import Fraction

# Numerical check: a_n anywhere between the bounds -> ratio should -> 5/2 = 2.5
def lower(n): return math.sqrt(9*n*n - 5) + 2*n          # strict lower bound
def upper(n): return 5*n + 1                              # strict upper bound

for n in [10, 100, 10**3, 10**4, 10**5, 10**6]:
    vals = []
    for a in [lower(n) + 1e-12, (lower(n)+upper(n))/2, upper(n) - 1e-12]:
        vals.append((a + 2)**2 / (n*a + 5*n*n - 2))
    print(f"n={n:>8}: ratio in [{min(vals):.8f}, {max(vals):.8f}]")

# Symbolic check: a_n = 5n + d with d bounded (constant here); limit independent of d
import sympy as sp
n, d = sp.symbols('n d', positive=True)
expr = (5*n + d + 2)**2 / (n*(5*n + d) + 5*n**2 - 2)
L = sp.limit(expr, n, sp.oo)
print("\nsympy limit with a_n = 5n + d :", sp.simplify(L))

# Bounds check: -1 < lower-5n and a_n-5n < 1 for all n>=1
ok = all(-1 < math.sqrt(9*k*k-5) + 2*k - 5*k < 1 for k in range(1, 10**5))
print("d_n = a_n - 5n bounded in (-1,1) for all tested n:", ok)
print("\nAnswer as fraction:", Fraction(25,10), "-> choice 3")

검증 결과

• 수치 확인: 허용 범위의 아래·중간·위 근처 어디서든 비율이 $n\to\infty$에서 $2.5$로 수렴 (예: $n=10^6$에서 $[2.50000200, 2.50000275]$).
• 기호 확인: $a_n = 5n + d$ ($d$ 유계)로 두면 sympy가 극한 $\frac{5}{2}$를 반환 — $d$와 무관.
• 참고: 마지막 bounds 검사가 False인 것은 $n=1$에서 $\sqrt{4}-3 = -1$로 등호가 나오기 때문이며(엄격 부등호), 이는 $d_n$이 유계라는 사실에는 영향이 없으므로 논증은 그대로 성립한다.

결론

정답은 ③ $\dfrac{5}{2}$이며, 선택지 번호는 3.