Problem Analysis #calculus_26

Union Alpha · Run 1

Python ● execution succeeded
Correct
149.25s
6,301 toks

부분 결과 · 오류와 사용량 확인 보류는 채점에서 제외합니다. 오류·답 추출 실패 재시도 기록을 포함하며 원본은 보존했습니다. Python 실행 성공은 수학적 증명 검증을 뜻하지 않습니다.

Problem Statement

그림과 같이 곡선 y=x+xln⁡xy=\sqrt{x+x\ln x}와 x축 및 두 직선 x=1, x=2로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

[원문 그림의 텍스트 전사] 그림은 x=1과 x=2 사이의 밑면 위에, 밑면의 x축과 곡선 사이 선분을 한 변으로 하는 정삼각형 단면들이 서 있는 입체를 나타낸다.

① 3(3+8ln⁡2)16\frac{\sqrt3(3+8\ln2)}{16} ② 3(5+12ln⁡2)24\frac{\sqrt3(5+12\ln2)}{24} ③ 3(1+12ln⁡2)16\frac{\sqrt3(1+12\ln2)}{16} ④ 3(1+2ln⁡2)4\frac{\sqrt3(1+2\ln2)}4 ⑤ 3(1+9ln⁡2)12\frac{\sqrt3(1+9\ln2)}{12}

최종 답은 선택지 번호 1~5 중 하나를 \boxed{} 안에 쓰세요.

Ground Truth
1
Recorded model response / solution
Reasoning Process

Recorded Python call:

{}
Tool Output
Execution failed invalid python arguments
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
f = x + x*sp.ln(x)          # side^2 = (sqrt(x + x ln x))^2
V = sp.integrate(sp.sqrt(3)/4 * f, (x, 1, 2))
V_simplified = sp.simplify(V)
print("V =", V_simplified)
print("numeric:", sp.N(V, 15))
opts = [sp.sqrt(3)*(3+8*sp.log(2))/16,
        sp.sqrt(3)*(5+12*sp.log(2))/24,
        sp.sqrt(3)*(1+12*sp.log(2))/16,
        sp.sqrt(3)*(1+2*sp.log(2))/4,
        sp.sqrt(3)*(1+9*sp.log(2))/12]
for i,o in enumerate(opts,1):
    print(i, sp.simplify(o - V_simplified)==0, sp.N(o-V_simplified,10))
Tool Output
Execution succeeded V = sqrt(3)*(3 + log(256))/16 numeric: 0.925042593345636 1 True 0.e-155 2 False 0.03608439182 3 False 0.08363518252 4 False 0.1082531755 5 False 0.1197195743
Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
# antiderivative check: d/dx [ x^2/2 + x^2 ln x /2 - x^2/4 ] = x + x ln x ?
F = x**2/2 + x**2*sp.log(x)/2 - x**2/4
print(sp.simplify(sp.diff(F,x) - (x + x*sp.log(x))))
# exact antiderivative evaluation
val = sp.simplify((sp.Rational(3,4) + 2*sp.log(2))*sp.sqrt(3)/4)
print("V exact =", sp.simplify(sp.sqrt(3)*(3+8*sp.log(2))/16), " equals:", sp.simplify(val - sp.sqrt(3)*(3+8*sp.log(2))/16)==0)
Tool Output
Execution succeeded 0 V exact = sqrt(3)*(3 + log(256))/16 equals: True
Reasoning Process

풀이

  • 각 위치 xx에서 밑면 변의 길이는 s(x)=x+xln⁡xs(x)=\sqrt{x+x\ln x}이고, 단면이 정삼각형이므로 단면적은
A(x)=34s(x)2=34 x(1+ln⁡x).A(x)=\frac{\sqrt3}{4}s(x)^2=\frac{\sqrt3}{4}\,x(1+\ln x).
  • 부피:
V=∫1234 x(1+ln⁡x) dx.V=\int_1^2 \frac{\sqrt3}{4}\,x(1+\ln x)\,dx.
  • 부분적분: xln⁡xx\ln x의 부정적분은 x22ln⁡x−x24\tfrac{x^2}{2}\ln x-\tfrac{x^2}{4}, xx의 부정적분은 x22\tfrac{x^2}{2}이므로 원함수는 F(x)=x22+x22ln⁡x−x24=x24+x22ln⁡xF(x)=\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^2}{2}\ln x-\tfrac{x^2}{4}=\tfrac{x^2}{4}+\tfrac{x^2}{2}\ln x (도함수가 x+xln⁡xx+x\ln x임을 sympy로 확인, 결과 0).
V=34[x24+x22ln⁡x]12=34(1+2ln⁡2)⋅34⋅43⋯=34(34+2ln⁡2)=3 (3+8ln⁡2)16.V=\frac{\sqrt3}{4}\Big[\frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{2}\ln x\Big]_1^2 =\frac{\sqrt3}{4}\Big(1+2\ln 2\Big)\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}\cdots =\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac{3}{4}+2\ln2\right) =\frac{\sqrt3\,(3+8\ln2)}{16}.

정확히는 34(34+2ln⁡2)=3(3+8ln⁡2)16\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac{3}{4}+2\ln2\right)=\frac{\sqrt3(3+8\ln2)}{16}이고, 이는 ①의 식과 sympy에서 항등하게 일치했습니다 (다른 선택지들은 모두 불일치, 차이가 0이 아님).

1\boxed{1}

Final Model Output
1

Comparative Analysis (Pcalculus_26) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

Union Alpha
149.3
Motif 3
52.0
Solar Pro 4
38.3
MiMo V2.6 Pro
31.3
Grok 4.7
16.0
Muse Spark 1.3
11.1
Solar Mini 4 Preview
6.9
DeepSeek V4.1 Flash
6.6

Avg Token Usage

Motif 3
7,313
Solar Pro 4
7,061
Solar Mini 4 Preview
6,676
MiMo V2.6 Pro
6,332
Union Alpha
6,301
Grok 4.7
5,946
Muse Spark 1.3
4,779
DeepSeek V4.1 Flash
3,720
    CSAT 2026 · Problem calculus_26 · Union Alpha | EntropyMath