Problem Analysis #calculus_27

매개변수 방정식을 풀고 나서 Python으로 확인해 보겠습니다.

교점 구하기: 직선 조건 $y = 3x - 5e$에 매개변수식을 대입하면

이를 정리하면 $e^{4t}(-2 - 3\cos^2\pi t - 3\sin^2\pi t) = -5e$, 즉 $-5e^{4t} = -5e$이므로 $t = \tfrac14$입니다.

기울기 구하기: $\sin^2\frac\pi4 = \cos^2\frac\pi4 = \tfrac12$, $\sin\frac\pi4\cos\frac\pi4 = \tfrac12$을 이용해 $dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)$를 계산해 보겠습니다.

Recorded Python call:

{}

Recorded Python call:

import sympy as sp
t = sp.symbols('t')
x = sp.exp(4*t)*(1+sp.sin(sp.pi*t)**2)
y = sp.exp(4*t)*(1-3*sp.cos(sp.pi*t)**2)
# find t solving y - 3x + 5*E = 0
sol = sp.solve(sp.Eq(y-3*x+5*sp.E, 0), t)
print(sol)
ts = sp.simplify(sol[0]) if sol else sp.Rational(1,4)
print("t =", ts)
dy = sp.diff(y, t).subs(t, ts)
dx = sp.diff(x, t).subs(t, ts)
m = sp.simplify(dy/dx)
print("dy/dt =", sp.simplify(sp.diff(y,t)), "at t=1/4:", dy)
print("dx/dt =", sp.simplify(sp.diff(x,t)), "at t=1/4:", dx)
print("slope =", m, "=", sp.nsimplify(m))
opts = [(3*sp.pi-4)/(sp.pi+4),(3*sp.pi-2)/(sp.pi+6),3*sp.pi/(sp.pi+8),(3*sp.pi+2)/(sp.pi+10),(3*sp.pi+4)/(sp.pi+12)]
for i,o in enumerate(opts,1):
    print(i, o, sp.simplify(o-m)==0, float(o), float(m))

계산 과정:

1. 교점 조건: $y-3x+5e = e^{4t}(1-3\cos^2\pi t - 3 - 3\sin^2\pi t) + 5e = -5e^{4t} + 5e = 0$ → $t = \frac14$ (실수해).

2. 기울기: $t=\frac14$에서

   • $\frac{dy}{dt} = (3\pi\sin 2\pi t - 6\cos 2\pi t - 2)e^{4t} = (3\pi - 2)e$
   • $\frac{dx}{dt} = (\pi\sin 2\pi t - 2\cos 2\pi t + 6)e^{4t} = (\pi + 6)e$
   • 기울기 $= \dfrac{3\pi-2}{\pi+6}$

Python 확인 결과 선택지 ②와 정확히 일치합니다.

$\boxed{2}$