Problem Analysis #common_02

이 극한은 미분계수의 정의 그대로 $f'(1)$입니다. $f'(x)=9x^2+4$이므로 $f'(1)=13$이 나올 것으로 예상되며, Python으로 수치극한과 심볼릭 도함수를 확인하겠습니다.

Recorded Python call:

import sympy as sp

h, x = sp.symbols('h x')
f = 3*x**3 + 4*x + 1

# 미분계수의 정의 그대로: (f(1+h)-f(1))/h 의 h->0 극한 (심볼릭 계산)
expr = (f.subs(x, 1+h) - f.subs(x, 1)) / h
lim = sp.limit(expr, h, 0)
print("식 전개:", sp.expand(expr))
print("극한:", lim)

# f'(1) 과 일치 확인
print("f'(1):", sp.diff(f, x).subs(x, 1))

# 수치적 확인: h를 작게 잡아 차분값 관찰
for hh in [1e-1, 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5]:
    val = ((3*(1+hh)**3 + 4*(1+hh) + 1) - (3*1**3 + 4*1 + 1)) / hh
    print(f"h={hh:.0e} -> 차분값 = {val:.6f}")

풀이

주어진 극한 $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$는 $x=1$에서의 미분계수 $f'(1)$의 정의입니다.

• $f'(x)=9x^2+4 \;\Rightarrow\; f'(1)=9(1)+4=13$
• 직접 계산: $\dfrac{(3(1+h)^3+4(1+h)+1)-7}{h}=\dfrac{9h+3h^2+4h}{h}=3h^2+9h+13 \xrightarrow[h\to0]{} 13$

Python 검증 결과

• 심볼릭 전개: $(f(1+h)-f(1))/h = 3h^2+9h+13$, 극한 $=13$, $f'(1)=13$ 일치
• 수치 확인: $h=10^{-1},10^{-2},\dots,10^{-5}$일 때 차분값이 $13.93,\ 13.09,\ 13.009,\dots$로 $13$에 수렴

따라서 답은 $13$, 즉 선택지 ④입니다.

Recorded Python call:

# 선택지 번호 확인: 값 13은 ④ (선택지 순서: 7, 9, 11, 13, 15)
options = [7, 9, 11, 13, 15]
answer = 13
print("선택지 번호:", options.index(answer) + 1)

$\boxed{4}$