Problem Analysis #common_08

주어진 조건을 정리하면:

• $\sin\theta + 3\cos\theta = 0 \Rightarrow \sin\theta = -3\cos\theta$ (단, $\cos\theta = 0$이면 $\sin\theta=0$이 되어 모순이므로 $\cos\theta \neq 0$)
• $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta > 0 \Rightarrow \cos\theta < 0$
• 따라서 $\sin\theta = -3\cos\theta > 0$ (제2사분면)

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$에 대입하면 $9\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1 \Rightarrow \cos^2\theta = \frac{1}{10}$이고, $\cos\theta<0$이므로 $\sin\theta = -3 \times (-\frac{1}{\sqrt{10}}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Python으로 검증합니다.

Recorded Python call:

{}

Recorded Python call:

from sympy import sqrt, Rational, simplify

# Conditions: sin t = -3 cos t, cos(pi - t) = -cos t > 0 => cos t < 0
# Then sin^2 + cos^2 = 9c^2 + c^2 = 1 -> c^2 = 1/10, c = -1/sqrt(10)
c = -1/sqrt(10)
s = -3*c
print("sin(theta) =", simplify(s))
print("positive?", s > 0)
print("check identity:", simplify(s**2 + c**2) == 1)
print("check sin+3cos=0:", simplify(s + 3*c) == 0)
print("check cos(pi-t)>0:", -c > 0)
choices = {1: 3*sqrt(10)/10, 2: sqrt(10)/5, 3: 0, 4: -sqrt(10)/5, 5: -3*sqrt(10)/10}
match = [k for k,v in choices.items() if simplify(v - s) == 0]
print("matching choice:", match)

검증 결과 모든 조건이 성립함을 확인했습니다:

• $\sin\theta = -3\cos\theta$ (단, $\cos\theta \neq 0$)
• $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta > 0 \Rightarrow \cos\theta < 0$, 따라서 $\sin\theta > 0$
• $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 9\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1 \Rightarrow \cos^2\theta = \frac{1}{10}$
• $\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{10}}$, $\sin\theta = -3\cos\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

Python 계산으로 $\sin\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$이 확인되었으며, 이는 선택지 ①과 일치합니다.

$\boxed{1}$