Problem Analysis #common_09

Recorded Python call:

import sympy as sp

x, a = sp.symbols('x a', real=True)
f = x**3 + 3*a*x**2 - 9*a**2*x + 4

# Tangency of horizontal line y=5 to y=f(x): exists x0 with f(x0)=5 and f'(x0)=0
fp = sp.diff(f, x)
crit = sp.solve(sp.Eq(fp, 0), x)   # critical points
print("critical points:", crit)

# f at each critical point
for c in crit:
    print("f(%s) =" % c, sp.simplify(f.subs(x, c)))

# Require f(crit) = 5 with a>0
sol = sp.solve([sp.Eq(f.subs(x, c), 5) for c in crit], a, dict=True)
print("solutions:", sol)
a_pos = [s[a] for s in sol if s[a].is_real and s[a] > 0]
print("positive a:", a_pos)

av = a_pos[0]
# double root check: f(x)-5 factorization
poly = sp.factor(f.subs(a, av) - 5)
print("f(x)-5 factored at a=1/3:", poly)

# f(2)
print("f(2) =", sp.simplify(f.subs({a: av, x: 2})))

시스템에서는 두 모든 임계점이 5와 같아야 한다고 요구했지만, 접촉에는 하나만 필요합니다. 수정합니다:

Recorded Python call:

import sympy as sp

x, a = sp.symbols('x a', real=True)
f = x**3 + 3*a*x**2 - 9*a**2*x + 4

crit = [-3*a, a]
fvals = [27*a**3 + 4, 4 - 5*a**3]

for c, fv in zip(crit, fvals):
    sols = sp.solve(sp.Eq(fv, 5), a)
    print(f"critical point x0={c}: f={fv}=5 -> a = {sols}")
    for av in sols:
        if av.is_real and av > 0:
            print("   positive a =", av,
                  "| tangent point x0 =", c.subs(a, av),
                  "| f(2) =", sp.simplify(f.subs({a: av, x: 2})))

# verify tangency: f(x)-5 has a double root for candidate a
for av in [sp.Rational(1,3)]:
    g = sp.factor(f.subs(a, av) - 5)
    print("factored f(x)-5 at a =", av, ":", g)
    print("f(2) =", f.subs({a: av, x: 2}))

설정. 수평선 $y=5$가 $y=f(x)$에 접하려면 $f(x_0)=5$, $f'(x_0)=0$을 만족하는 $x_0$가 존재해야 합니다. 이때 $f'(x)=3x^2+6ax-9a^2=3(x+3a)(x-a)$이므로 임계점은 $x_0=-3a$ 또는 $x_0=a$이며, 다음 값을 얻습니다:

접선 조건 해결 (검증된 Python 코드):

• $27a^3+4=5 \Rightarrow a^3=\tfrac1{27}\Rightarrow a=\tfrac13>0$, 접점은 $x_0=-1$, $f(2)=14$ 계산.
• $4-5a^3=5 \Rightarrow a^3=-\tfrac15\Rightarrow a<0$, $a>0$ 조건에 따라 기각됨.
• $a=\tfrac13$에서 접선 판별: factor(f(x)-5) = (x-1)(x+1)² — 중근 $x=-1$이므로 $y=5$는 실제로 접합니다 (그리고 $x=1$에서의 교차는 단순 교차입니다). 또한 $f(2)=8+4-2+4=14$ 확인 완료.

유일하게 유효한 경우는 $a=\tfrac13$이고 $f(2)=14$이며, 이는 ④에 해당합니다.

Recorded Python call:

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3 + x**2 - x + 4  # f with a = 1/3: 3a=1, -9a^2=-1
g = sp.factor(f - 5)
print("f(x)-5 =", g)                 # (x-1)*(x+1)**2 -> tangency at x=-1
print("f(2) =", f.subs(x, 2))       # 14
print("choice index for 14 ->", [11,12,13,14,15].index(f.subs(x,2)) + 1)

f(x) - 5 = (x-1)(x+1)^2으로 확인된 접선 조건이 만족되었고, f(2) = 14가 확인되었습니다.