Problem Analysis #common_10

Union Alpha · Run 1

Python ● execution succeeded
Correct
41.40s
3,661 toks

부분 결과 · 오류와 사용량 확인 보류는 채점에서 제외합니다. 오류·답 추출 실패 재시도 기록을 포함하며 원본은 보존했습니다. Python 실행 성공은 수학적 증명 검증을 뜻하지 않습니다.

Problem Statement

상수 aa (a>1a>1)에 대하여 곡선 y=ax−2y=a^x-2 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 A를 지나고 y축에 평행한 직선이 x축과 만나는 점을 B, 곡선 y=ax−2y=a^x-2의 점근선과 만나는 점을 C라 하자. AB‾=BC‾\overline{AB}=\overline{BC}이고 삼각형 AOC의 넓이가 8일 때, a×OB‾a\times\overline{OB}의 값은? (단, O는 원점이다.)

① 213/62^{13/6} ② 27/32^{7/3} ③ 25/22^{5/2} ④ 28/32^{8/3} ⑤ 217/62^{17/6}

최종 답은 선택지 번호 1~5 중 하나를 \boxed{} 안에 쓰세요.

Ground Truth
3
Recorded model response / solution
Reasoning Process

문제 분석

점 A = (t, a^t − 2) (제1사분면, t > 0)이라 하면:

  • B = (t, 0) — y축에 평행한 직선과 x축의 교점
  • C = (t, −2) — 점근선 y = −2와의 교점

조건 1: AB = a^t − 2, BC = 2 이므로 AB = BC → a^t = 4

조건 2: 삼각형 AOC에서 AC = 4 (수직), O에서 직선 AC까지의 거리 = t 이므로 넓이 = ½·4·t = 2t = 8 → t = 4

따라서 a⁴ = 4. Python으로 확인해 보겠습니다.

Reasoning Process

Recorded Python call:

import sympy as sp

a, t = sp.symbols('a t', positive=True, real=True)

# 조건 1: AB = BC  ->  a^t - 2 = 2
# 조건 2: [AOC] = (1/2)*AC*t = (1/2)*(y_A - (-2))*t = (1/2)*(a^t-2+2)*t = (a^t/2)*t = 8
sol = sp.solve([sp.Eq(a**t, 4), sp.Eq(a**t*t/2, 8)], [t, a], dict=True)
print("해:", sol)

tt = sp.Rational(4)          # t = 4
aa = sp.Integer(4)**(sp.Rational(1,4))   # a = 4^(1/4) = 2^(1/2)

AB = aa**tt - 2
BC = 2
area = sp.Rational(1,2)*(aa**tt - 2 + 2)*tt
ans = sp.simplify(aa * tt)
print("AB =", AB, ", BC =", BC, ", 넓이 =", area)
print("A=(%s, %s) 제1사분면 확인" % (tt, aa**tt - 2))
print("a*OB =", ans, "=", sp.nsimplify(ans), "= 2^(5/2) ?", sp.simplify(ans - 2**sp.Rational(5,2)) == 0)
print("수치:", float(ans))
Tool Output
Execution succeeded 해: [{a: sqrt(2), t: 4}] AB = 2 , BC = 2 , 넓이 = 8 A=(4, 2) 제1사분면 확인 a*OB = 4*sqrt(2) = 4*sqrt(2) = 2^(5/2) ? True 수치: 5.656854249492381
Reasoning Process

검증 결과

Python 계산으로 확인된 유일한 해:

  • a = √2, t = 4 (즉 A = (4, 2), 제1사분면 ✓)
  • AB = 2 = BC ✓
  • 삼각형 AOC 넓이 = ½ × 4 × 4 = 8 ✓

답

a×OB‾=2×4=21/2×22=25/2a \times \overline{OB} = \sqrt{2} \times 4 = 2^{1/2} \times 2^2 = 2^{5/2}

이는 선택지 ③과 일치합니다.

3\boxed{3}
Final Model Output
3

Comparative Analysis (Pcommon_10) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

Motif 3
51.0
Grok 4.7
50.4
Union Alpha
41.4
Solar Pro 4
34.9
MiMo V2.6 Pro
30.9
Muse Spark 1.3
14.8
Solar Mini 4 Preview
10.8
DeepSeek V4.1 Flash
8.5

Avg Token Usage

Grok 4.7
15,308
Solar Mini 4 Preview
10,949
Motif 3
7,121
Muse Spark 1.3
5,498
DeepSeek V4.1 Flash
4,527
MiMo V2.6 Pro
3,820
Union Alpha
3,661
Solar Pro 4
2,543
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