Problem Analysis #common_13

Recorded Python call:

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = x**2 - 4*x - 3
g = (x**3 - 2*x)*f

# Check points
print("f(1) =", f.subs(x,1), "  g(1) =", g.subs(x,1))

# Tangents via derivatives
fp = sp.diff(f, x)
gp = sp.diff(g, x)
print("f'(1) =", fp.subs(x,1), "  g'(1) =", gp.subs(x,1))

l = f.subs(x,1) + fp.subs(x,1)*(x-1)   # tangent to f at (1,-6)
m = g.subs(x,1) + gp.subs(x,1)*(x-1)   # tangent to g at (1,6)
print("l(x) =", sp.expand(l), " y-intercept:", l.subs(x,0))
print("m(x) =", sp.expand(m), " y-intercept:", m.subs(x,0))

# Intersection point of l and m
xint = sp.solve(sp.Eq(l, m), x)[0]
print("intersection x =", xint, " y =", l.subs(x, xint))

# Area between the two lines from x=0 to intersection (m above l on [0, xint])
diff_lines = sp.expand(m - l)
print("m - l =", diff_lines)
area = sp.integrate(diff_lines, (x, 0, xint))
print("Area =", area)

# Sanity: line m above l on [0, xint]?
print("m-l at x=0:", diff_lines.subs(x,0), " at x=xint:", diff_lines.subs(x,xint))

계산 과정 (Python으로 확인 완료):

1. 접선 l 구하기 (곡선 f)

• $f'(x) = 2x - 4$, $f'(1) = -2$, $f(1) = -6$
• 접선 l: $y = -6 - 2(x-1) = -2x - 4$ → y절편 $-4$

2. 접선 m 구하기 (곡선 g) — 곱의 미분법 $g = (x^3-2x)f$ 사용:

• $h(x) = x^3-2x$이면 $h(1) = -1$, $h'(1) = 1$
• $g'(1) = h'(1)f(1) + h(1)f'(1) = (1)(-6) + (-1)(-2) = -4$, $g(1) = 6$
• 접선 m: $y = 6 - 4(x-1) = -4x + 10$ → y절편 $10$

3. 교점과 넓이

• $-2x-4 = -4x+10 \Rightarrow x = 7$, 교점 $(7, -18)$
• 구간 $[0,7]$에서 $m - l = (-4x+10)-(-2x-4) = 14-2x \ge 0$이므로 m이 위쪽

Python 검증 결과: 교점 $x=7$, 적분값 $49$, 그리고 $m-l$이 $[0,7]$에서 음수가 아님(양수 영역)까지 확인되어 삼각형 넓이 $\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 14 = 49$와 일치합니다.

답은 ⑤이므로 선택지 번호 5입니다.

Recorded Python call:

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**2 - 4*x - 3
g = (x**3 - 2*x)*f
l = -2*x - 4
m = -4*x + 10
xint = sp.solve(sp.Eq(l, m), x)[0]
area = sp.integrate(m - l, (x, 0, xint))
# cross-check: triangle with base 7 (y-axis) and height 14 (y-intercept difference)
print("intersection:", xint, "| integral area:", area, "| triangle check:", sp.Rational(1,2)*xint*14)
print("m >= l on [0,7]:", all((m-l).subs(x,t) >= 0 for t in [0, sp.Rational(1,2), 3, 6, sp.Rational(13,2), 7]))

검증 요약:

• $f(x) = x^2-4x-3$, $f'(1) = -2$ → 접선 $l$: $y = -2x-4$ (y절편 $-4$)
• $g(x) = (x^3-2x)f(x)$, 곱의 미분법으로 $g'(1) = (3x^2-2)f(1) + (x^3-2x)f'(1)\big|_{x=1} = (1)(-6) + (-1)(-2) = -4$ → 접선 $m$: $y = -4x+10$ (y절편 $10$)
• 두 접선의 교점: $-2x-4 = -4x+10 \Rightarrow x=7$, 즉 $(7, -18)$
• Python 확인 결과: $[0,7]$ 구간에서 $m - l = 14-2x \ge 0$ (m이 위쪽)이며,

• 삼각형 공식 $\frac{1}{2}\times 7 \times 14 = 49$와도 일치 (y축 밑변 길이 $10-(-4)=14$, 교점까지의 x거리 $7$)

따라서 도형의 넓이는 $49$이고, 이는 ⑤번 선택지입니다.

Recorded Python call:

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**2 - 4*x - 3
g = sp.expand((x**3 - 2*x)*f)
# slopes at x=1
slope_l = sp.diff(f, x).subs(x, 1)
slope_m = sp.diff(g, x).subs(x, 1)
l = -6 + slope_l*(x-1)
m = 6 + slope_m*(x-1)
xi = sp.solve(sp.Eq(l, m), x)[0]
area = sp.integrate(sp.expand(m-l), (x, 0, xi))
print("slopes:", slope_l, slope_m, "| intersection x:", xi, "| area:", area, "| option 5 value 49?", area == 49)

모든 검증이 완료되었습니다:

• f의 접선 l: $f'(1) = 2(1)-4 = -2$ → $y = -6 - 2(x-1) = -2x-4$, y절편 $-4$
• g의 접선 m: 곱의 미분법으로 $g'(1) = (3-2)(-6) + (1-2)(-2) = -4$ → $y = 6 - 4(x-1) = -4x+10$, y절편 $10$
• 교점: $x=7$, 구간 $[0,7]$에서 $m \ge l$ 확인
• 넓이: $\displaystyle\int_0^7 (14-2x)\,dx = 98-49 = 49$ (삼각형 $\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 14 = 49$와 일치)

넓이 $49$는 ⑤번 선택지이므로, 최종 답은 선택지 번호 5입니다.

$\boxed{5}$