Problem Analysis #common_15

문제를 단계적으로 분석하고, Python으로 부호 변화(극값 개수)와 $h(3)$를 정확히 계산해 검증하겠습니다.

설계: $h'(x)=g(x)-f(x)=:p(x)$이고 $p$가 모든 이음점에서 연속임을 확인한 뒤, $p$의 부호 변화 횟수 = $h$의 극값 개수로 봅니다. 구간별로

• $x<-1$: $p=x^2+ax+a$ (판별식 $a(a-4)$)
• $-1\le x<0$: $p=x^2>0$
• $0\le x<1$: $p=x-x^2\ge 0$
• $x\ge 1$: $p=-(x-1)(x-a)$

Recorded Python call:

import sympy as sp

x, a = sp.symbols('x a', real=True)

# p = g - f 의 구간별 식
q  = x**2 + a*x + a                      # x < -1
p2 = x**2                                # -1 <= x < 0
p3 = x - x**2                            # 0 <= x < 1
p4 = sp.expand(a*x - a - (x**2 - x))     # x >= 1
print("p4 =", sp.factor(p4), " / -(x-1)(x-a)와 일치?:",
      sp.simplify(p4 + (x-1)*(x-a)) == 0)

# 이음점 연속성 확인 (h가 C^1이 됨)
print("x=-1: q(-1)=", q.subs(x,-1), " p2(-1)=", p2.subs(x,-1))
print("x= 0: p2(0)=", p2.subs(x,0), " p3(0)=", p3.subs(x,0))
print("x= 1: p3(1)=", p3.subs(x,1), " p4(1)=", p4.subs(x,1))

# h의 극값 개수 = p의 부호 변화 횟수 (정확한 해석적 판정)
def extrema_count(av):
    cnt = 0
    disc = av*av - 4*av
    if abs(disc) < 1e-15:
        roots = [-av/2]
    elif disc > 0:
        s = disc**0.5
        roots = [(-av - s)/2, (-av + s)/2]
    else:
        roots = []
    for r in roots:                       # 왼쪽 조각 (-inf,-1)에서의 근
        if r < -1 and abs(2*r + av) > 1e-12:   # 단근(부호 변화)만
            cnt += 1
    cnt += 1  # 오른쪽: x>=1 에서는 항상 정확히 한 번 부호 변화 (x=max(1,a)에서 + -> -)
    return cnt

print("\n[해석적 판정] a -> 극값 개수")
for av in [-10, -3, -0.5, 0, 0.7, 1, 2, 3.9, 4, 4.0001, 5, 12]:
    print(f"  a={av}: {extrema_count(av)}")

# 수치 그리드로 부호 변화 수 독립 확인
import numpy as np
def grid_sign_changes(av, n=600001):
    lo = min(-1.0, -abs(av) - 10.0); hi = max(3.0, av + 10.0)
    xs = np.linspace(lo, hi, n)
    p = np.where(xs < -1, xs**2 + av*xs + av,
        np.where(xs < 0, xs**2,
        np.where(xs < 1, xs - xs**2, av*xs - av - xs**2 + xs)))
    s = np.sign(p); s = s[s != 0]
    return int(np.sum(s[1:] * s[:-1] < 0))

print("\n[수치 확인] a -> 그리드 부호 변화 수")
for av in [-3, 0, 1, 2, 3.9, 4, 4.001, 5, 12]:
    print(f"  a={av}: {grid_sign_changes(av)}")

# a = 4일 때 h(3)
t = sp.symbols('t', real=True)
h3 = sp.integrate(t - t**2, (t, 0, 1)) + sp.integrate(4*t - 4 - (t**2 - t), (t, 1, 3))
print("\nh(3) (a=4) =", h3, "=", sp.Rational(h3))
print("k + h(3) =", 4 + h3, "=", sp.Rational(4 + h3))

두 가지 독립 방법(정확한 해석적 판정 + 수치 그리드 부호 변화 검사)이 일치하는 결과를 주었습니다.

정리. $h'(x)=p(x)=g(x)-f(x)$는 이음점 $x=-1,0,1$에서 연속이므로(실행 결과로 확인: $q(-1)=1$, $p(0)=0$, $p(1)=0$) $h$의 극값은 $p$의 부호 변화에서만 발생합니다. 실행 결과:

• $-1\le x<1$에서는 $p=x^2\ (\,-1\le x<0\,)$, $p=x(1-x)\ (\,0\le x<1\,)$로 항상 $\ge 0$ → 부호 변화 없음.
• $x<-1$: $p=x^2+ax+a$. 근이 $(-\infty,-1)$에 두 개 생기려면 $a>4$ 필요(판별식 $a(a-4)>0$이고 $r_+=\frac{-a+\sqrt{a^2-4a}}2<-1$은 $\sqrt{a^2-4a}>a-2 \Leftrightarrow 0>4$ 모순으로 $a\le4$에선 성립 불가). 즉 $a\le 4$이면 이 구간 부호 변화 없음, $a>4$이면 2회.
• $x\ge1$: $p=-(x-1)(x-a)$로 항상 정확히 한 번 부호 변화(+)→(−) — $a\le1$이면 $x=1$에서, $a>1$이면 $x=a$에서.

따라서 극값 개수는 $a\le4$이면 1개, $a>4$이면 3개이고 $k=4$. (해석 판정 표와 60만 점 그리드 검사가 모두 $a=4$에서 1개, $a=4.001$에서 3개로 확인)

$a=4$일 때:

Recorded Python call:

import sympy as sp
t = sp.symbols('t', real=True)
# 최종 일관성 재확인: k=4에서 h(3)과 극값 개수 조건
h3 = sp.Rational(1,2)-sp.Rational(1,3) + sp.integrate(4*t-4-(t**2-t),(t,1,3))
print("h(3) =", h3, "| k+h(3) =", sp.Rational(4)+h3)
print("답은 15/2 -> 선택지 4번")

$\displaystyle k+h(3)=4+\frac72=\frac{15}2$이므로 답은 선택지 ④입니다.

$\boxed{4}$