Problem Analysis #common_19

Recorded Python call:

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 2*x**3 + 3*x**2 - 12*x - 8

# Find critical points on [-2, 2]
fp = sp.diff(f, x)
crit = sp.solve(sp.Eq(fp, 0), x)
print("f'(x) =", sp.factor(fp))
print("critical points:", crit)

# Evaluate f at critical points and endpoints
pts = [-2, 1, 2]
vals = {p: f.subs(x, p) for p in pts}
print("values:", vals)

# k must be >= max |f(x)| over [-2,2]
k_min = max(abs(v) for v in vals.values())
print("k_min =", k_min)

# Exhaustive numeric check over a fine grid to confirm no larger |f| inside (-2,2)
import numpy as np
xs = np.linspace(-2, 2, 2000001)
fv = 2*xs**3 + 3*xs**2 - 12*xs - 8
print("max |f| on grid:", np.max(np.abs(fv)))
print("min f:", fv.min(), "at x =", xs[fv.argmin()])
print("max f:", fv.max(), "at x =", xs[fv.argmax()])

풀이

$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 8$의 극값을 구합니다.

구간 $[-2, 2]$에서 임계점은 $x = -2$ (끝점), $x = 1$입니다.

Python으로 계산한 값들:

• $f(-2) = -16 + 12 + 24 - 8 = 12$ (구간 내 최댓값, 그리드 확인 결과와 일치)
• $f(1) = 2 + 3 - 12 - 8 = -15$ (구간 내 최솟값, 그리드 확인 결과와 일치)
• $f(2) = 16 + 12 - 24 - 8 = -4$

부등식 $-k \le f(x) \le k$가 $[-2,2]$ 전체에서 성립하려면

200만 개 격자점 수치 확인에서도 $\max|f| = 15.0$이 나와 최댓값/최솟값 계산과 일치합니다.

따라서 양수 $k$의 최솟값은 $\boxed{15}$입니다.