Problem Analysis #common_20

Union Alpha · Run 1

Python ● execution succeeded
Correct
57.81s
6,473 toks

부분 결과 · 오류와 사용량 확인 보류는 채점에서 제외합니다. 오류·답 추출 실패 재시도 기록을 포함하며 원본은 보존했습니다. Python 실행 성공은 수학적 증명 검증을 뜻하지 않습니다.

Problem Statement

수열 {an}\{a_n\}이 다음 조건을 만족시킨다. • a1=7a_1=7 • 2 이상의 자연수 n에 대하여 ∑k=1nak=23an+16n2−16n+10\sum_{k=1}^n a_k=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10이다. 다음은 ∑k=112ak+∑k=15a2k+1\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}의 값을 구하는 과정이다. 2 이상의 자연수 n에 대하여 an+1=∑k=1n+1ak−∑k=1naka_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}a_k-\sum_{k=1}^{n}a_k이므로 an+1=23(an+1−an)+(가)a_{n+1}=\frac23(a_{n+1}-a_n)+\boxed{\text{(가)}}이고, 이 식을 정리하면 2an+an+1=3×(가)2a_n+a_{n+1}=3\times\boxed{\text{(가)}} …… ㉠ 이다. ∑k=1nak=23an+16n2−16n+10\sum_{k=1}^na_k=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10 (n≥2n\ge2)에서 양변에 n=2를 대입하면 a2=(나)a_2=\boxed{\text{(나)}} …… ㉡ 이다. ㉠과 ㉡에 의하여 ∑k=112ak+∑k=15a2k+1=a1+a2+∑k=15(2a2k+1+a2k+2)=(다)\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}=a_1+a_2+\sum_{k=1}^{5}(2a_{2k+1}+a_{2k+2})=\boxed{\text{(다)}}이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 f(n)f(n)이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q라 할 때, p×qf(12)\frac{p\times q}{f(12)}의 값을 구하시오.

최종 정수 답을 \boxed{} 안에 쓰세요.

Ground Truth
130
Recorded model response / solution
Reasoning Process

풀이

재귀식 유도 (㉠): 주어진 식에서 n+1n+1과 nn을 뺀다:

an+1=23(an+1−an)+16[(n+1)2−(n+1)−(n2−n)]=23(an+1−an)+n3a_{n+1}=\frac23(a_{n+1}-a_n)+\frac16\big[(n+1)^2-(n+1)-(n^2-n)\big]=\frac23(a_{n+1}-a_n)+\frac{n}{3}

따라서 (가)는 f(n)=n3f(n)=\dfrac{n}{3}이고, 정리하면 2an+an+1=n2a_n+a_{n+1}=n (n≥2n\ge2).

초기값 (㉡): n=2n=2 대입: 7+a2=23a2+4−26+10⇒13a2=103⇒a2=107+a_2=\frac23a_2+\frac{4-2}{6}+10 \Rightarrow \frac13a_2=\frac{10}{3}\Rightarrow a_2=10, 즉 p=10p=10.

합 계산 (다): 2a2k+1+a2k+2=2k+12a_{2k+1}+a_{2k+2}=2k+1이므로

∑k=112ak+∑k=15a2k+1=a1+a2+∑k=15(2k+1)=7+10+(3+5+7+9+11)=52\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}=a_1+a_2+\sum_{k=1}^5(2k+1)=7+10+(3+5+7+9+11)=52

즉 q=52q=52.

Python으로 수열 전체를 직접 계산해 검증합니다.

Reasoning Process

Recorded Python call:

from fractions import Fraction as F

# Build sequence from derived recurrence a_{n+1} = -2 a_n + n (n>=2), a1=7, a2=10
a = {1: F(7), 2: F(10)}
for n in range(2, 30):
    a[n+1] = -2*a[n] + n

# Verify the original condition holds for n = 2..29
ok = all(sum(a[k] for k in range(1, n+1)) == F(2,3)*a[n] + F(1,6)*n*n - F(1,6)*n + 10
         for n in range(2, 30))
print("condition verified for n=2..29:", ok)

f = lambda n: F(n, 3)          # (가)
p = 10                          # (나): a2
S12 = sum(a[k] for k in range(1, 13))
Sodd = sum(a[2*k+1] for k in range(1, 6))
q = S12 + Sodd                  # (다)
grouped = a[1] + a[2] + sum(2*a[2*k+1] + a[2*k+2] for k in range(1, 6))
print("p =", p, "| q =", q, "| grouped-form equals q:", grouped == q)
print("f(12) =", f(12))
print("(p*q)/f(12) =", p*q/f(12))
Tool Output
Execution succeeded condition verified for n=2..29: True p = 10 | q = 52 | grouped-form equals q: True f(12) = 4 (p*q)/f(12) = 130
Reasoning Process

검증 결과, 유도한 재귀식 an+1=−2an+na_{n+1}=-2a_n+n(n≥2n\ge2)으로 만든 수열이 모든 n=2,…,29n=2,\dots,29에서 원래 조건을 정확히 만족하며, 두 합의 값을 직접 합산한 것과 묶음 형태 a1+a2+∑(2a2k+1+a2k+2)a_1+a_2+\sum(2a_{2k+1}+a_{2k+2})가 일치함을 확인했습니다.

  • (가): f(n)=n3f(n)=\dfrac{n}{3}, f(12)=4f(12)=4
  • (나): p=a2=10p=a_2=10
  • (다): q=∑k=112ak+∑k=15a2k+1=52q=\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}=52
p×qf(12)=10×524=130\frac{p\times q}{f(12)}=\frac{10\times 52}{4}=130

130\boxed{130}

Final Model Output
130

Comparative Analysis (Pcommon_20) (Average across runs)

Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.

Avg Time Taken

Motif 3
147.5
Solar Pro 4
102.8
Grok 4.7
85.1
MiMo V2.6 Pro
63.2
Union Alpha
57.8
Muse Spark 1.3
22.6
Solar Mini 4 Preview
20.6
DeepSeek V4.1 Flash
14.4

Avg Token Usage

Grok 4.7
20,794
Motif 3
20,122
Muse Spark 1.3
11,871
Solar Pro 4
11,367
DeepSeek V4.1 Flash
8,273
MiMo V2.6 Pro
7,111
Union Alpha
6,473
Solar Mini 4 Preview
6,345
    CSAT 2026 · Problem common_20 · Union Alpha | EntropyMath