Problem Analysis #common_22

문제 분석

조건을 정리하면:

• A(a, b): $b=\log_{16}(8a+2)$, 즉 $16^b = 8a+2$
• B(c, d): $d = 4^{c-1}-\tfrac12$
• 중점 조건: $a+c = \tfrac{77}{4}$, $b+d = \tfrac{133}{4}$
• A의 대칭점 $(b,a)$이 직선 OB 위 → $bd = ac$

핵심 관찰: 곡선 2는 곡선 1을 $(x,y)\mapsto(2y,2x)$로 보낸 상입니다. 실제로 $16^y=8x+2$이면 $4^{2y-1}-\tfrac12 = \tfrac{16^y}{4}-\tfrac12 = \tfrac{8x+2}{4}-\tfrac12 = 2x$이므로 B = $(2b, 2a)$이면 자동으로 B가 곡선 2 위에 있고 $(b,a)=B/2$는 직선 OB 위에 있습니다. 이때 중점 조건은 $a+2b=\tfrac{77}{4}$, $2a+b=\tfrac{133}{4}$가 되어 선형연립이 됩니다.

이를 수치 스캔(유일성 확인)과 sympy 정밀 검산으로 확인하겠습니다.

Recorded Python call:

import numpy as np, math

# Parametrize by a: b from curve1, c,d from midpoint condition.
def b_of(a):  # curve 1: y = log_16(8x+2)
    return math.log(8*a+2, 16)

def F1(a):
    # residual for "B on curve 2": d = 4^{c-1} - 1/2, with c=77/4-a, d=133/4-b
    b = b_of(a); c = 77/4 - a; d = 133/4 - b
    return d - (4.0**(c-1) - 0.5)

def F2(a):
    # residual for "A'=(b,a) on line OB": cross product b*d - a*c = 0
    b = b_of(a); c = 77/4 - a; d = 133/4 - b
    return b*d - a*c

xs = np.linspace(-0.124, 19.2499, 300001)
vals = np.array([F1(x) for x in xs])
idx = np.where(np.sign(vals[:-1]) * np.sign(vals[1:]) < 0)[0]
roots = []
for i in idx:
    lo, hi, flo = xs[i], xs[i+1], vals[i]
    for _ in range(100):
        mid = 0.5*(lo+hi)
        if flo * F1(mid) <= 0:
            hi = mid
        else:
            lo, flo = mid, F1(mid)
    roots.append(0.5*(lo+hi))
print("roots of F1 (a with B on curve 2):", roots)
for r in roots:
    print(f"  a={r:.10f}  b={b_of(r):.10f}  c={77/4-r:.10f}  F2(resid)={F2(r):.3e}")
print("F1 strictly increasing on grid:", bool(np.all(np.diff(vals) > 0)))
print("F1(63/4) =", F1(63/4), "  F2(63/4) =", F2(63/4))
print("predicted a*b =", (63/4)*(7/4))

Recorded Python call:

import sympy as sp

a = sp.Rational(63, 4)
b = sp.simplify(sp.log(8*a + 2, 16))            # b = log_16(128)
c = sp.Rational(7, 2)
d = sp.simplify(sp.Integer(4)**(c - 1) - sp.Rational(1, 2))  # d = 4^{5/2} - 1/2
print("A =", (a, b), " B =", (c, d))

# Curve 1 check: 16^b == 8a+2
print("16^b - (8a+2) =", sp.simplify(sp.Integer(16)**b - (8*a + 2)))
# Curve 2 check: d == 4^{c-1} - 1/2
print("d - (4^(c-1)-1/2) =", sp.simplify(d - (sp.Integer(4)**(c-1) - sp.Rational(1,2))))
# Midpoint check
print("midpoint x =", sp.simplify((a+c)/2), "  midpoint y =", sp.simplify((b+d)/2))
# Collinearity of A'=(b,a) with O and B=(c,d): b*d - a*c = 0
print("cross product b*d - a*c =", sp.simplify(b*d - a*c))
# a*b as reduced fraction
ab = sp.simplify(a*b)
num, den = sp.fraction(sp.together(ab))
print("a*b =", ab, "  q =", num, "  p =", den, "  gcd =", sp.gcd(num, den))
print("p + q =", den + num)

풀이

치환을 통한 구조 파악: 곡선 $y=\log_{16}(8x+2)$는 $16^y = 8x+2$로 쓸 수 있고, 변환 $(x,y)\mapsto(2y,2x)$를 하면

가 되어 곡선 2 위의 점이 됩니다. 또한 A의 대칭점 $(b,a)$가 직선 OB 위에 있으려면 $\vec{OB}\parallel(b,a)$인데, $B=(2b,2a)$이면 두 조건이 동시에 성립합니다.

연립: 이 경우 중점 조건에서

이고, 이를 풀면 $a=\frac{63}{4},\ b=\frac{7}{4}$, 따라서 $B=(\frac72,\frac{63}{2})$.

Python 검증 결과:

• 수치 스캔: $a\in(-\frac14,\frac{77}{4})$ (A, B가 제1사분면, 두 곡선의 정의역 만족) 전 구간에서 잔차 함수가 단조증가하고 근이 $a=15.75$로 유일함을 확인.
• sympy 정밀 검산: $16^{7/4}=128=8\cdot\frac{63}{4}+2$ ✓, $4^{5/2}-\frac12=\frac{63}{2}$ ✓, 중점 $(\frac{77}{8},\frac{133}{8})$ ✓, 외적 $bd-ac=0$ (대칭점이 직선 OB 위) ✓.