Problem Analysis #geometry_24

설정: 포물선 $y^2=4p(x-h)$ 형태로 쓰면 $y^2=12(x-2)$에서 $4p=12$, 즉 $p=3$이고 꼭짓점은 $(2,0)$입니다.

• 초점: $(h+p,\,k)=(5,\,0)$
• 준선: $x=h-p=-1$ (직선 $x=-1$)

초점과 준선 사이의 거리는 준선까지의 수직 거리이므로 $|5-(-1)|=6$입니다.

Recorded Python call:

import sympy as sp

# y^2 = 12(x-2)  ->  4p = 12, p = 3, vertex (2,0)
A = 12
p = sp.Rational(A, 4)
h, k = 2, 0

focus = (h + p, k)          # (5, 0)
directrix_x = h - p         # x = -1

dist = abs(focus[0] - directrix_x)   # vertical distance from focus to line x = -1

print("p =", p)
print("focus =", focus)
print("directrix: x =", directrix_x)
print("distance =", dist)

# sanity check: point on parabola equidistant from focus and directrix
x, y = sp.symbols('x y', real=True)
# vertex (2,0): dist to focus = 3, dist to directrix = |2 - (-1)| = 3  -> OK
print("vertex check:", sp.sqrt((2-focus[0])**2) , abs(2 - directrix_x))

# symbolic check with another point, e.g. x = 5 -> y^2 = 36 -> y = 6
pt = (5, 6)
d_focus = sp.sqrt((pt[0]-focus[0])**2 + (pt[1]-focus[1])**2)
d_dir = abs(pt[0] - directrix_x)
print("point (5,6): dist to focus =", d_focus, ", dist to directrix =", d_dir, ", equal:", d_focus == d_dir)

검증 결과: $p=3$, 초점 $(5,0)$, 준선 $x=-1$이고, 거리는 $6$으로 계산되었습니다. 포물선의 정의(초점까지의 거리 = 준선까지의 거리)도 점 $(2,0)$과 $(5,6)$에서 성립함을 확인했습니다.

거리 $= |5-(-1)| = 6$이고, 이는 보기 ①에 해당합니다.

$\boxed{1}$