Problem Analysis #geometry_27

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Recorded Python call:

import sympy as sp

r = sp.Rational(5, 2)                 # 반지름 = 지름 5 / 2
h = sp.symbols('h', positive=True)    # 원기둥의 높이 (DH = h)

# 밑면 원 C1: 평면 z=0, 중심 원점, 반지름 r.  AB = 5 = 지름이므로 AB는 지름
A = sp.Matrix([-r, 0, 0])
B = sp.Matrix([ r, 0, 0])

# 윗면 원 C2 위의 점 C(c1,c2,h), D(d1,d2,h)
d1, d2, c1, c2 = sp.symbols('d1 d2 c1 c2', real=True)
D = sp.Matrix([d1, d2, h])
C = sp.Matrix([c1, c2, h])

# --- 조건 1: AD = BC ---
AD2 = sp.expand((D - A).dot(D - A))
BC2 = sp.expand((C - B).dot(C - B))
rel = sp.factor(sp.simplify(AD2 - BC2))
print("AD^2 - BC^2 =", rel, "  -> (d1 + c1) = 0, 즉 c1 = -d1")

# --- 조건 2: C,D가 원 위 + CD = 3 ---
# c2^2 = d2^2 = r^2 - d1^2 이므로 c2 = ±d2
# (i) c2 = -d2 이면 CD^2 = 4(d1^2+d2^2) = 4r^2 = 25 -> CD = 5 ≠ 3 : 모순
# (ii) c2 = d2  -> CD^2 = 4 d1^2 = 9 -> |d1| = 3/2, |d2| = 2
print("case c2=-d2 gives CD =", 2*sp.sqrt(r**2), "≠ 3 (불가능)")

d1v = -sp.Rational(3, 2)      # D는 A 쪽(왼쪽), C는 B 쪽(오른쪽) -> 단순 사각형
d2v = sp.Integer(2)
Cq = sp.Matrix([sp.Rational(3, 2), d2v, h])
Dq = sp.Matrix([d1v,              d2v, h])
H  = sp.Matrix([d1v,              d2v, 0])   # D에서 밑면 평면에 내린 수선의 발

print("|AB| =", sp.sqrt((B-A).dot(B-A)), " |CD| =", sp.sqrt((Dq-Cq).dot(Dq-Cq)))
print("AD^2 =", sp.simplify((Dq-A).dot(Dq-A)), " BC^2 =", sp.simplify((Cq-B).dot(Cq-B)),
      " (같음:", sp.simplify((Dq-A).dot(Dq-A) - (Cq-B).dot(Cq-B)) == 0, ")")
print("C,D,H 의 원 위 조건 (x^2+y^2-r^2):",
      sp.simplify(d1v**2 + d2v**2 - r**2), sp.simplify(sp.Rational(9,4)+4 - r**2))

# 평면성 확인
n = (B - A).cross(Cq - A)
print("ABCD 평면성 잔차 n·(D-A) =", sp.simplify(n.dot(Dq - A)))

# --- 넓이 ---
S_ABCD = sp.Ristic if False else sp.Rational(1,2)*(B - A).cross(Cq - A).norm() \
         + sp.Rational(1,2)*(Cq - A).cross(Dq - A).norm()
S_ABH  = sp.Rational(1,2)*(B - A).cross(H - A).norm()
S_ABCD = sp.simplify(S_ABCD); S_ABH = sp.simplify(S_ABH)
print("사각형 ABCD 넓이 =", S_ABCD, " (사다리꼴 공식 (1/2)(5+3)sqrt(h^2+4)과 일치:",
      sp.simplify(S_ABCD - 4*sp.sqrt(h**2 + 4)) == 0, ")")
print("삼각형 ABH 넓이 =", S_ABH)

sol = sp.solve(sp.Eq(S_ABCD, 4*S_ABH), h)
print("방정식 S_ABCD = 4*S_ABH 의 해: h =", sol, " -> h^2 =", sp.simplify(sol[0]**2))

# --- 수치 검증 ---
import numpy as np, math
hv = math.sqrt(21)
An = np.array([-2.5,0,0]); Bn = np.array([2.5,0,0])
Cn = np.array([1.5,2,hv]); Dn = np.array([-1.5,2,hv]); Hn = np.array([-1.5,2,0.])
def d3(P,Q): return float(np.linalg.norm(P-Q))
def area3(P,Q,R): return 0.5*float(np.linalg.norm(np.cross(Q-P, R-P)))
print("\n수치(h=√21≈%.6f):" % hv)
print("AB=%.6f CD=%.6f AD=%.6f BC=%.6f" % (d(An,Bn) if False else np.linalg.norm(Bn-An), np.linalg.norm(Dn-Cn), np.linalg.norm(Dn-An), np.linalg.norm(Cn-Bn)))
print("H가 밑면 원 위: |H|=", np.linalg.norm(Hn[:2]), "(반지름 2.5)")
S1 = area3(An,Bn,Cn) + area3(An,Cn,Dn); S2 = area3(An,Bn,Hn)
print("S_ABCD=%.6f  S_ABH=%.6f  비율=%.6f (4이어야 함)" % (S1, S2, S1/S2))
for k in [1,2,3,4,5]:
    hk = math.sqrt(k)
    print("  h=√%d: S_ABCD=%.4f, 4*S_ABH=20, 비율=%.4f" % (k, 4*math.sqrt(hk**2+4), 4*math.sqrt(hk**2+4)/20))

풀이 요약

좌표 설정: 아래 밑면 $C_1$: $z=0$, 중심 원점, 반지름 $r=\tfrac52$; 위 밑면 $C_2$: $z=h$. $AB=5=$지름이므로 $A(-\tfrac52,0,0)$, $B(\tfrac52,0,0)$로 둘 수 있고, $C(c_1,c_2,h)$, $D(d_1,d_2,h)$, $H(d_1,d_2,0)$.

AD = BC (Python 확인): $AD^2-BC^2 = -c_1^2+5c_1-c_2^2+d_1^2+5d_1+d_2^2$이고, $c_1^2+c_2^2=d_1^2+d_2^2=r^2$ (두 점 모두 위 원 위)이므로 $5c_1= -5d_1 \Rightarrow c_1=-d_1$.

CD = 3과 원 위 조건: $c_1=-d_1$, $c_2^2=d_2^2$이므로 $CD^2=(2d_1)^2+(c_2-d_2)^2$. $c_2=-d_2$이면 $CD=2r=5\neq3$ (모순), 따라서 $c_2=d_2$이고 $4d_1^2=9\Rightarrow |d_1|=\tfrac32,\ |d_2|=2$ (왜냐하면 $d_1^2+d_2^2=\tfrac{25}4$). $D$가 $A$ 쪽인 배치(단순 사각형)를 택하면

검증: $|AB|=5,\ |CD|=3,\ AD^2=BC^2=h^2+5$, $H$는 밑면 원 위 ($|H|=2.5$), 4점 평면성 잔차 $=0$.

넓이와 방정식:

• 삼각형 $ABH$: 밑변 $AB=5$, 높이 $=d_2=2$ $\Rightarrow$ 넓이 $=\dfrac12\cdot5\cdot2=5$. (벡터 계산과 일치)
• 사각형 $ABCD$: 평행한 $AB\parallel CD$ ($y$축 방향 공통)인 사다리꼴, 두 평행변 사이 거리 $=\sqrt{h^2+4}$ $\Rightarrow$ 넓이 $=\dfrac12(5+3)\sqrt{h^2+4}=4\sqrt{h^2+4}$.

조건 $S_{ABCD}=4\,S_{ABH}$:

Python이 방정식의 해를 정확히 $h=\sqrt{21}$, $h^2=21$로 확인했고, 수치 검증($h=\sqrt{21}$에서 $S_{ABCD}=20$, $S_{ABH}=5$, 비율 $=4.000000$) 및 모든 선택지 대소 비교도 일치했습니다.