Problem Analysis #geometry_29

설정

포물선 (y² = 4px) (초점 (F(p,0)), 준선 (x=-p)) 위의 제1사분면 점 (A=(a,b))이면:

• 수선의 발 (H = (-p,, b))이므로 (AH = a+p) (그리고 포물선 성질로 (AF = a+p))
• (b^2 = 4pa)

초점이 x축 위인 타원: 중심 ((m,0), semimajor ($\alpha$)), 초점 ((m\pm c, 0)).

• (F(p,0))은 x축 위 타원의 점 → 타원의 꼭짓점. 그림에서 (O,B,F) 순서이므로 (F)는 오른쪽 꼭짓점: ($\alpha$ = p-m).
• (A,H)가 같은 높이 (y=b)에서 타원 위 → (x=m)에 대해 대칭 → (m = \tfrac{a-p}{2}).

둘레 계산 (p 결정)

(x=m) 대칭(반사)은 (A$\leftrightarrow$ H), (B$\leftrightarrow$ C)(다른 초점)를 바꾸므로 (AB = HC). 타원 위 점 (H)에 대해 (HB+HC = 2$\alpha$)이므로 [AB + BH = HC + HB = 2$\alpha$ = 2(p-m) = 3p - a.] 따라서 삼각형 (AHB)의 둘레: [AH + AB + BH = (a+p) + (3p-a) = 4p = p + 27 ;$\Rightarrow$; p = 9.]

Python으로 이 논리와 나머지 조건들을 검증합니다.

Recorded Python call:

import sympy as sp, math

print("=== Step 1: perimeter identity => p ===")
p, a, b = sp.symbols('p a b', positive=True)
m = (a - p)/2          # A=(a,b), H=(-p,b) symmetric about x=m on the ellipse
al = p - m             # F=(p,0) is the RIGHT vertex (figure: O,B,F order)
u = a + p              # AH
# focal sums: AB+AC=2α (A on ellipse), HB+HC=2α (H on ellipse); reflection swaps A<->H, B<->C => AB=HC
per = sp.expand(u + 2*al)
print("perimeter(AHB) =", per)                       # expect 4p
print("p =", sp.solve(sp.Eq(per, p + 27), p))

print("\n=== Step 2: area + parabola => A ===")
pv = sp.Integer(9)
uu, bb = sp.symbols('u b', positive=True)            # u = a+p = AH
# area = (1/2)*AH*b = 2p+12 -> u*b = 4p+24 = 60 ; parabola: b^2 = 4p(u-p)
sols = sp.solve([sp.Eq(uu*bb, 4*pv+24), sp.Eq(bb**2, 4*pv*(uu-pv))], [uu, bb], dict=True)
print("solutions (u,b):", sols)
real = [s for s in sols if s[uu].is_real and s[bb].is_real and s[uu]>0 and s[bb]>0]
print("real positive solutions:", real)
x = sp.Symbol('x')
print("cubic factorization:", sp.factor(x**3 - 9*x**2 - 100), "-> unique real root 10")

print("\n=== Step 3: construct the ellipse and verify everything ===")
a_v, b_v = 1, 6
m_v = sp.Rational(a_v - pv, 2); al_v = pv - m_v
c = sp.Symbol('c', real=True)
eqA = sp.Eq((a_v - m_v)**2/al_v**2 + b_v**2/(al_v**2 - c**2), 1)   # A on ellipse
cs = [s for s in sp.solve(eqA, c) if s.is_real and s > 0]
print("m =", m_v, " alpha =", al_v, " c =", cs, " beta^2 =", al_v**2 - cs[0]**2)
Bx = m_v + cs[0]
print("B = (", Bx, ", 0);  0 < B < F ?", bool(0 < Bx < pv))

A = (1.0, 6.0); H = (-9.0, 6.0); Fp = (9.0, 0.0)
B = (float(Bx), 0.0); C = (float(m_v - cs[0]), 0.0)
d = lambda P, Q: math.hypot(P[0]-Q[0], P[1]-Q[1])
print("AB+AC =", round(d(A,B)+d(A,C), 10), "  HB+HC =", round(d(H,B)+d(H,C), 10), "  FB+FC =", round(d(Fp,B)+d(Fp,C), 10), " (2*alpha =", float(2*al_v), ")")
print("AB == HC ?", abs(d(A,B)-d(H,C)) < 1e-12, "   BH == AC ?", abs(d(H,B)-d(A,C)) < 1e-12)
print("perimeter =", round(d(A,H)+d(H,B)+d(B,A), 10), "  vs p+27 =", 36)
area = 0.5*abs((H[0]-A[0])*(B[1]-A[1]) - (H[1]-A[1])*(B[0]-A[0]))
print("area =", area, "  vs 2p+12 =", 30)
print("parabola check: b^2 =", 36, "  4pa =", 4*9*1)
print("HF^2 = (2p)^2 + b^2 =", (2*9)**2 + 6**2)

모든 검증이 통과되었습니다.

요약

p 결정 (둘레 조건): 타원의 중심은 A(=a,b)와 H(=−p,b)를 등높이로 지나므로 (m=\tfrac{a-p}{2}), F(p,0)은 오른쪽 꼭짓점이므로 (2$\alpha$ = 2(p-m)). 반사 (x=m)이 A↔H, B↔C를 바꾸므로 (AB=HC)이고, (HB+HC=2$\alpha$)에서 [둘레 = AH+AB+BH = (a+p) + 2(p-m) = 4p = p+27 $\Rightarrow$ p=9]

A 결정 (넓이 + 포물선 조건): (u=AH=a+p)라 하면 넓이 (\tfrac12 u,b = 2p+12 $\Rightarrow$ ub=60), 포물선식 (b^2=4p(u-p))과 연립하면 유일한 양의 해 (u=10,, b=6) (즉 (A=(1,6), H=(-9,6))). 이는 인수분해 (x^3-9x^2-100=(x-10)(x^2+x+10))로 실근의 유일성도 확인됨.

타원 구성 및 검증: 중심 (m=-4), ($\alpha$=13), (c=\tfrac{13\sqrt3}{2}), (B=(-4+\tfrac{13\sqrt3}{2},,0)) — 그림 조건 (0<B<F=9) 만족 확인. 점 A, H, F에서의 초점합 (AB+AC=HB+HC=FB+FC=2$\alpha$=26) 모두 일치, 둘레 36(=p+27), 넓이 30(=2p+12), 포물선식 (36=4pa) 모두 확인.

답: (k^2=HF^2 = (2p)^2 + b^2 = 18^2 + 6^2 = $\boxed{360}$)