Problem Analysis #geometry_30

Setup

P를 원점으로 두면, P가 지름 AB(길이 $10\sqrt2$) 위의 원 위에 있으므로 $\angle APB = 90°$입니다. 따라서 $|PA|^2 = |AB|^2 - |PB|^2 = 200 - 196 = 4$이고, $|PA| = 2$입니다.

좌표 선택: $P=(0,0)$, $A=(2,0)$, $B=(0,14)$ → $|AB| = \sqrt{4+196} = 10\sqrt2$ ✓

Q = (x, y)에 대해 두 가지 조건은 다음과 같습니다:

• 원: $(Q-A)\cdot(Q-B)=0 \Rightarrow x^2+y^2-2x-14y=0$
• 주어진 조건: $(2,14)\cdot(x, y+14) = 2(x^2+y^2)$

정확하게 풀어보겠습니다.

Recorded Python call:

import sympy as sp, math

x, y = sp.symbols('x y', real=True)
P = sp.Matrix([0, 0]); A = sp.Matrix([2, 0]); B = sp.Matrix([0, 14])

# Thales check: |PA|^2 + |PB|^2 = |AB|^2
print("|AB|^2 =", (A-B).dot(A-B), " equals 200:", sp.simplify((A-B).dot(A-B)-200)==0)

Q = sp.Matrix([x, y])
circle_expr = (Q - A).dot(Q - B)                    # = 0 on circle with diameter AB
cond_expr   = (A + B).dot(Q + B) - 2*Q.dot(Q)       # given condition = 0

sols = sp.solve([sp.expand(circle_expr), sp.expand(cond_expr)], [x, y], dict=True)
print("solutions:", sols)

for s in sols:
    Qv = sp.Matrix([sp.nsimplify(s[x]), sp.nsimplify(s[y])])
    QB = B - Qv
    d  = sp.simplify((A - P).dot(QB))               # PA · QB
    print("Q =", list(Qv), "|QB| =", sp.sqrt(sp.simplify(QB.dot(QB))),
          "PA·QB =", d, "|PA·QB| =", sp.Abs(d),
          "resids:", sp.simplify(circle_expr.subs(s)), sp.simplify(cond_expr.subs(s)))

# fraction, coprimality, p+q
frac = sp.Rational(196, 25)
print("196/25 reduced:", frac, " gcd(196,25) =", math.gcd(196,25), " p+q =", 25+196)

검증

정확한 기호 계산은 주어진 두 조건(지름에 대한 원, 스칼라 조건)을 모두 만족하는 정확히 두 개의 해를 찾아냈습니다:

1. $Q = (0, 14) = B$ — 제외됨: $|\vec{QB}| = 0$은 $|\vec{QB}| > 0$이라는 조건에 위배됩니다.
2. $Q = \left(\frac{98}{25}, \frac{336}{25}\right)$ — 유효함:
   • 원에 존재함: 잔차 $x^2+y^2-2x-14y = 0$ ✓
   • 주어진 조건을 만족함: 잔차 $0$ ✓
   • $|\vec{QB}| = \frac{14\sqrt2}{5} > 0$ ✓

계산

두 유효한 점에 대해:

따라서 $|\vec{PA}\cdot\vec{QB}| = \frac{196}{25}$.

$\gcd(196, 25) = 1$ (서로소)이므로 $p = 196$이고 $q = 25$가 됩니다: