Problem Analysis #probability_27

확률의 총합으로 a를 구하고, V(X/a) = V(X)/a² 를 계산하겠습니다.

Recorded Python call:

from fractions import Fraction

# 확률 질량함수
p = {}
for x in range(4):
    p[x] = Fraction(abs(2*x - 1), 12)
p[4] = None  # a

# 총 확률 = 1 이므로 a 결정
s = sum(p[x] for x in range(4))
a = Fraction(1) - s
p[4] = a
print("sum of p(0..3) =", s, " a =", a)

# 기댓값과 분산
E = sum(x * p[x] for x in range(5))
E2 = sum(x*x * p[x] for x in range(5))
V = E2 - E*E
print("E[X] =", E, " E[X^2] =", E2, " V(X) =", V)

# V(X/a) = V(X)/a^2
Va = V / a**2
print("V(X/a) =", Va)

# 검증: 직접 (X/a)의 분산 계산
mu = sum((x/a) * p[x] for x in range(5))
var_direct = sum(((x/a) - mu)**2 * p[x] for x in range(5))
print("직접 계산한 V(X/a) =", var_direct)

# 선택지 확인
for i, v in enumerate([36, 39, 42, 45, 48], start=1):
    if v == Va:
        print("답 번호:", i)

풀이 과정:

1. a 구하기: 확률의 총합이 1이어야 하므로

   • P(0)=1/12, P(1)=1/12, P(2)=3/12, P(3)=5/12 → 합 = 10/12 = 5/6
   • 따라서 a = 1 − 5/6 = 1/6

2. V(X) 계산 (검증 결과: E[X] = 5/2, E[X²] = 15/2):

   • V(X) = 15/2 − (5/2)² = 15/2 − 25/4 = 5/4

3. V(X/a) 계산: 분산의 성질 V(cX) = c²V(X)를 이용하면

   • V(X/a) = (1/a²)·V(X) = (1/(1/6)²)·(5/4) = 36·(5/4) = 45

파이썬으로 확률 총합 조건, 기댓값·분산, 그리고 (X/a)를 직접 정의하여 분산을 계산하는 방식 두 가지 모두 확인했으며, 두 결과가 일치하여 45임이 확인되었습니다.

$\boxed{4}$