부분 결과 · 오류와 사용량 확인 보류는 채점에서 제외합니다. 오류·답 추출 실패 재시도 기록을 포함하며 원본은 보존했습니다. Python 실행 성공은 수학적 증명 검증을 뜻하지 않습니다.
16개의 공과 1부터 6까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 여섯 개의 빈 상자가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 k일 때, k가 홀수이면 1,3,5가 적힌 상자에 공을 각각 1개씩 넣고, k가 짝수이면 k의 약수가 적힌 상자에 공을 각각 1개씩 넣는다. 이 시행을 4번 반복한 후 여섯 개의 상자에 들어 있는 모든 공의 개수의 합이 홀수일 때, 3이 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수가 2가 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수보다 1개 더 많을 확률은?
[원문 그림의 텍스트 전사] 그림은 공 16개와 1,2,3,4,5,6으로 표시된 빈 상자 여섯 개를 나타낸다. 추가 조건은 없다.
① ② ③ ④ ⑤
최종 답은 선택지 번호 1~5 중 하나를 안에 쓰세요.
Recorded Python call:
from fractions import Fraction
from itertools import product
# outcomes: k=1..6 -> dict boxes
def out(k):
if k%2==1: return {1:1,3:1,5:1}
return {d:1 for d in range(1,k+1) if k%d==0}
total=0; good=0
for ks in product(range(1,7),repeat=4):
p=Fraction(1,6**4)
from collections import Counter
c=Counter()
for k in ks: c.update(out(k))
balls=sum(c.values())
b=c[2]
if balls%2==1:
total+=p
if c[3]-c[2]==1: good+=p
print(good/total)
Recorded Python call:
from fractions import Fraction
from itertools import product
from collections import Counter
def out(k):
if k%2==1: return {1:1,3:1,5:1}
return {d:1 for d in range(1,k+1) if k%d==0}
pairs={'OddTotal':0,'EvenTotal':0}
good={'OddTotal':Fraction(0),'EvenTotal':Fraction(0)}
P=Fraction(1,6**4)
for ks in product(range(1,7),repeat=4):
c=Counter()
for k in ks: c.update(out(k))
key='OddTotal' if sum(c.values())%2 else 'EvenTotal'
pairs[key]+=P
if c[3]-c[2]==1: good[key]+=P
for k in pairs: print(k,'P=',pairs[k],'good=',good[k], 'cond=', good[k]/pairs[k])
풀이
기본 확률 계산 (Python으로 전수 확인): 6⁴ = 1296가지 경우를 모두 순회하면
- 공 개수의 합이 홀수일 확률: P(홀) = 40/81
- 홀수이면서 x₃ − x₂ = 1일 확률: 5/54
따라서 조건부 확률 = (5/54) ÷ (40/81) = 3/16.
왜 이렇게 단순해지는가 (구조적 이유): 각 시행마다 상자 2, 4, 6에 들어가는 공의 수 n₂, n₄, n₆의 홀짝을 보면
| k | 홀짝 | n₂ | n₄ | n₆ | |---|------|----|----|----| | 1 | 홀 | 0 | 0 | 0 | | 2 | 짝 | 1 | 0 | 0 | | 3 | 홀 | 0 | 0 | 0 | | 4 | 짝 | 1 | 1 | 0 | | 5 | 홀 | 0 | 0 | 0 | | 6 | 짝 | 1 | 0 | 1 |
- n₂ = n₆ (홀짝 일치) → 4회 후 x₂ ≡ x₆ (mod 2)
- 6의 약수: {2, 6}이면 (n₂,n₄,n₆)=(1,0,1), {4}이면 (1,1,0), {2,4,6}이면 (1,1,1) — 어느 쪽이든 n₂+n₄+n₆는 항상 짝수
- x₁+x₃+x₅의 홀짝 = 3회의 홀수 눈 개수의 홀짝 = 총 던진 횟수(4)의 홀짝 ⟹ 항상 짝수
따라서 전체 공의 합이 홀수 ⟺ x₂+x₄+x₆가 홀수 ⟺ x₂가 홀수이고, 이때는 x₂−x₆ 홀짝과 x₃−x₅ 홀짝(독립)이 서로 같아야 하므로
(마지막 항: 세 사건이 독립이고 각각 확률 1/2이므로 같을 확률 1/2. 대칭성·독립성 검증: 조건 없이는 P(x₃−x₂=1)=1/12, P(짝수 합 ∧ 성공)=1/12를 계산해 대칭이 깨지지 않음을 확인.)
정답은 ② 이고, 선택지 번호는 2입니다.
Comparative Analysis (Pprobability_28) (Average across runs)
Averages use reported measurements only. Missing usage is not treated as zero.