Problem Analysis #probability_29

문제 분석

한 시행에서 기록값이 3이 될 확률 $p$를 구하면:

• 주사위 눈이 $a$ 이하일 확률 $\frac{a}{6}$ → 동전 5회 중 정확히 3회 앞면: $\binom{5}{3}/2^5 = \frac{10}{32}$
• 주사위 눈이 $a$보다 클 확률 $\frac{6-a}{6}$ → 동전 3회 모두 앞면: $\frac{1}{8}$

$X \sim B(19200,\ p)$이고 $E(X)=19200\cdot\frac{a+4}{32}=600(a+4)=4800$이므로 $a$를 구하고, 정규근사로 $z$값과 표 기반 $k$를 계산합니다.

Recorded Python call:

import math

n = 19200

def p_of(a):
    return (a/6)*(10/32) + ((6-a)/6)*(1/8)

# 1) find a with E(X) = 4800
cand = [(a, 19200*p_of(a)) for a in range(1,7)]
print("E(X) by a:", cand)
a = next(a for a,e in cand if abs(e-4800) < 1e-9)
print("a =", a)

p = p_of(a)
mu = n*p
var = n*p*(1-p)
sd = math.sqrt(var)
print("p =", p, " mu =", mu, " sigma =", sd)

thr = 4800 + 30*a
print("threshold =", thr)

# 2) z-score (textbook, no continuity correction) and with continuity correction
z = (thr - mu)/sd
z_cc = (thr + 0.5 - mu)/sd
print("z =", z, " z_cc =", z_cc)

Phi = lambda t: 0.5*(1+math.erf(t/math.sqrt(2)))
print("Phi(z) =", Phi(z), " Phi(z_cc) =", Phi(z_cc))

# 3) exact binomial CDF P(X <= thr) via log-space summation
def binom_cdf(n, p, kmax):
    s = 0.0
    logp, log1p = math.log(p), math.log(1-p)
    logC = 0.0  # log C(n,0)
    for x in range(0, kmax+1):
        if x > 0:
            logC += math.log(n - x + 1) - math.log(x)
        s += math.exp(logC + x*logp + (n-x)*log1p)
    return s

exact = binom_cdf(n, p, thr)
print("exact P(X<=4920) =", exact)

# 4) table-based answer: P(0<=Z<=2.0)=0.477 -> k = 0.5+0.477
k_table = 0.5 + 0.477
print("k (table) =", k_table, " 1000k =", 1000*k_table)

검증 결과

계산이 확인되었습니다:

1. $a$ 결정: $E(X)=600(a+4)=4800$에서 $a=4$ (유일한 해)
2. 모수: $p=\frac{a+4}{32}=\frac14$, $\mu=4800$, $\sigma=\sqrt{19200\cdot\frac14\cdot\frac34}=60$
3. $z$값: $X\le 4800+120=4920$ → $z=\dfrac{4920-4800}{60}=2.0$ (정확히 계산됨)
4. 표 기반 답: $P(0\le Z\le 2.0)=0.477$이므로 $k=0.5+0.477=0.977$
5. 정합성 확인: 실제 이항분포 $B(19200, 0.25)$의 정확한 누적확률 $P(X\le 4920)\approx 0.97747$로 표 기반 값 $0.977$과 잘 일치 (연속수정 없는 $z=2.0$ 근사가 교과서 풀이에 부합)

따라서 $1000\times k = 1000 \times 0.977 = 977$입니다.